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如何理解“贪心算法”

关于贪心算法，我们先看一个例子。

假设我们有一个可以容纳100Kg物品的背包，可以装各种物品。我们有以下5种豆子，每种豆子的总量和总价值各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？

实际上，这个问题很简单，我们只要先算一算每个物品的单价，按照单价从高到低依次来装就可以了。单价从高到低排列，依次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装 20kg 黑豆、30kg 绿豆、50kg 红豆。

这个问题的解决思路本质上就是借助贪心算法。

贪心算法解决问题的一般步骤：

• 第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：
  • 针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。
  • 类比到刚刚的例子，限制值就是重量不能超过 100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是 5 种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过 100kg，并且总价值最大。
• 第二步，我们尝试下这个问题是否可以用贪心算法解决
  • 每次选择当前情况下，在对限制值同等共享量的情况下，对期望值贡献最大的数据
  • 类比到刚刚的例子，我们每次从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子
• 第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。
  • 大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。
  • 严格的证明贪心算法的正确性，是非常复杂的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能够用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证明。

实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。

举个例子。在一个有权图中，我们从顶点S开始，找一条到顶点T的最短路径（路径中边的权重和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T。按照这种思路，我们求出的最短路径是S->A->E->T，路径长度是 1+4+4=9。

但是，这种贪心的选择方式，最终求的路径并不是最短路径，因为路径 S->B->D->T才是最短路径，因为这条路径的长度是2+2+2=6。为什么贪心算法在这个问题上不工作了呢？在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是，前面的选择，会影响后面的选择。如果我们第一步从顶点S走到顶点A，那接下来面对的顶点和边，跟第一步从顶点S走到顶点B，是完全不同的。所以，即便我们第一步选择最优的走法(边最短)，但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无源全局最优解了

贪心算法实战分析

通过局部最优，达到全局最优

分糖果

题目

我们有m个糖果和n个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多(m < n)，所以糖果只能分配给一部分孩子。

每个糖果的大小不等，这m个糖果的大小分别是s1、s2、s3，…，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这 n 个孩子对糖果大小的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。

问题是，如何分配糖果，能尽可能的满足最多数量的孩子。

分析

我们可以把这个问题抽象成，从n个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数(期望值)是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数m。

可以用贪心算法来解决这个问题。对一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。

我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足它的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案

钱币找零

题目

假设我们有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元这些面额的纸币，它们的张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付K元，最少要用多少张纸币呢？

分析

先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用1元来补齐

在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。

区间覆盖（会场安排问题）

题目

假设我们有n个区间，区间的起始端点和结束端点分别是是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这n个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

分析

这个问题的处理思路稍微不是那么好懂，不过，最好能弄懂，因为这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。

这个问题的解决思路是这样的：我们假设这 n 个区间中最左端点是 lmin，最右端点是rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将 [lmin, rmax] 覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。

我们每次选择时，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。

霍夫曼编码

假设我有一个包含1000个字符的文件，每个字符占1个byte（1byte=8bits），存储这1000个字符就需要8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？

假设我们通过统计分析发现，这1000个字符中只包含6种不同字符，假设它们分别是a、b、c、d、e、f。这3个二进制位（bit）就可以表示8个不同的字符，所以，为了尽量减少存储空间，每个字符我们用3个二进制位来表示。那存储这1000个字符只需要3000bits就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没有更加节省空间的存储方式呢？

a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101)

霍夫曼编码就登场了。霍夫曼编码是一种十分有效的编码算法，广泛用于数据压缩中，其压缩率通常在 20%～90% 之间。

霍夫曼编码不仅会考察文本中有多少个不同字符，还会考察每个字符出现的频率，根据频率的不同，选择不同长度的编码。霍夫曼编程试图用这种不等长的编码方法，来进一步增加压缩的效率。如果给不同频率的字符选择不同长度的编码呢？根据贪心的思想，我们可以把出现频率较多的字符，用稍微短一些的编码；出现频率较少的字符，用稍微长一些的编码。

对于等长的编码来说，我们解压缩很简单。比如上面例子中，我们用3个bit表示一个字符。在解压缩的时候，我们每次从文本中读取3位二进制编码，然后翻译成对应的字符。但是，霍夫曼编码是不等长的，每次应该读取1位还是2位、3位等等来解压缩呢？这个问题就导致霍夫曼编码解压缩起来比较复杂。为了避免解压缩过程中出现歧义，霍夫曼编码要求各个字符的编码之间，不会出现某个编码是另一个编码的前缀的情况（？？？？）。

假设这6个字符出现的频率从高到第依次是a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子，任何一个字符的编码都不是另一个的前缀，在解压缩的时候，我们每次都会读取尽可能长的可以解压的二进制串，所以在解压缩的时候也不会歧义。经过这种编码压缩之后，这1000个字符只需要2100bits就可以了。

那如果根据字符出现频率的不同，给不同的字符进行不同长度的编码呢？

• 我们把每个字符看作一个节点，并且辅带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点A、B，然后新建一个节点C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点C作为节点A、B的父节点。最后再把C节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。
  
• 现在，我们给每一条边加上一个权值，指向左子节点的边我们通过标记为0，指向右子节点的边，我们通过标记为1，那从根几点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码

小结

• 实际上，贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。注意，不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。
• 贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事。所以，很多时候，我们只需要多举几个例子，看一下贪心算法的解决方案是否真的能得到最优解就可以了。

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