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机器学习之二：回归分析

1. 基本概念

回归分析是统计学中用于研究两个或以上变量之间相互依赖关系的一种重要方法。它通过找到因变量与自变量之间的函数关系，帮助我们预测未知值。在实际应用中，回归分析被广泛用于预测模型的建立。

在回归分析中，因变量和自变量的定义至关重要。

• 因变量（dependent variable）：函数关系式中会随自变量的变化而变化的变量，通常记为Y。例如，Y = f(X)，其中X是自变量。
• 自变量（independent variable）：研究者可以操纵的变量，引起因变量发生变化的因素。在心理学实验中，自变量通常是试验中的刺激变量。

回归分析的核心任务是通过统计方法，揭示不同变量之间的关系。变量间的关系可以分为两种情况：

回归分析可以分为简单回归和多重回归，具体再分线性回归和非线性回归。

2. 主要算法

在实际应用中，回归分析采用多种算法来拟合最佳模型，以下是一些常见的回归算法：

2.1 线性回归（Linear Regression）

线性回归是一种简单而强大的模型，它假设因变量与一个或多个自变量之间存在线性关系。回归方程的形式为： Y = a + b*X + e，其中

• a为截距
• b为回归系数（斜率）
• e为误差项

回归系数可以通过最小二乘法估计，即基于损失函数（残差平方和）最小化的解决方案。

2.2 普通最小二乘回归（OLS Regression）

普通最小二乘回归（OLS）是最常用的回归方法，其核心思想是最小化预测值与实际值之间的平方误差和。假定满足以下条件时，OLS估计是无偏最优的：

这些条件需要通过检验来验证，以确保回归结果的可靠性。

2.3 逻辑回归（Logistic Regression）

逻辑回归是一种不同的回归方法，它针对二分类问题（如阳性与阴性）建立预测模型。回归函数为：

其优点是能够将预测值 confine在 [0,1] 范围内，适合用于分类任务。

2.4 逐步回归（Stepwise Regression）

在实际问题中，逐步回归用于选择对因变量影响显著的自变量。回归方程逐步加入变量并进行检验，剔除对影响不显著的变量。逐步回归的优点是其自动性和适应性。

2.5 岭回归（Ridge Regression）

岭回归是一种有偏估计方法，通过引入L2惩罚项来解决多重共线性问题。它放弃了最小二乘法的严格假定，以更好地适应数据特性。

2.6 LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）

LASSO回归通过L1惩罚项实现变量的自动选择，它会将对影响不显著的变量的系数压缩到0。相比于岭回归，LASSO还具有更强的选择性。

2.7 Elastic Net 回归（Elastic Net Regression）

Elastic Net回归结合了L1和L2惩罚项的优点，适用于同时存在高相关和多重共线性的情况。它兼具LASSO和岭回归的优点，提供了更高的稳定性。

3. 如何选择回归模型

选择合适的回归模型需要综合考虑以下因素：

在选择模型时，交叉验证是检验模型最可靠的方法。通过划分训练集和验证集，可以评估模型的泛化能力。

每日一句

“忘掉今天的人将被明日忘掉。——歌德”

Forget today will be forgotten tomorrow.