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树形dp，树的最长路径（最远点对）

题意

给出一棵nn个结点的无根树，求出每个结点所能到达的最远点的距离。

解法

将无根树转成有根树，并进行两次DFS。

1. 第一次DFS求出每个结点在其子树中的正向最大距离和正向次大距离,记为dp[0][x]和dp[1][x]，并标记最长距离所对应的子结点id[i] ,利用id[i]能跳过最大点计算第二大的点；

   此时可知对于每个结点ii,最远点的距离只有两种可能：

   • 结点\(i\)的正向最大距离
   • 结点\(i\)链接其父结点所能到达的最大距离，即反向最大距离

2. 第二次DFS求出反向最长距离

   • 由上步我们获得了正向最大距离，正向次大距离和最大距离的儿子节点标记。画图可以知道我们建立的这棵树，i节点的最远距离只有两种选择：i节点所在子树的最大距离，或者i节点连接它的父节点所能到达的最大距离。（即前者往下走，后者先往上走之后很可能也往下走）
   • 所以我们只要求出*反向最大距离*dist[i][2]（即i节点往它的父节点走所能到达的最大距离）就可以知道i节点在整个树中能走的最大距离了。
   • dist[i][2]求法：i节点往它的父节j点走，如果它的父节点的正向最大距离不经过i的话，那么dist[i][2]要不就是它父节点的反向最大距离+W[i][j]要不就是它父节点的正向最大距离+ W[i][j].
   • 如果它的父节点的正向最大距离经过i的话，那么dist[i][2]要不就是它父节点的反向最大距离+W[i][j]要不就是它父节点的正向次大距离+ W[i][j].

#include
   
    using namespace std;const int N = 1e4 + 100;int n, dp[3][N], id[N];vector
    
     p[N], val[N];void dfs1(int x,int f) {//第一个dfs更新子树的最大跟次大和s	for (int i = 0; i < p[x].size(); i++){		int to = p[x][i];		if (to == f) continue;		dfs1(to, x);		if (dp[0][x] < dp[0][to] + val[x][i]) //这里是更新最大和，记住经过哪个儿子最大		{			dp[0][x] = dp[0][to] + val[x][i];			id[x] = to;		}	}	for (int i = 0; i < p[x].size(); i++){		int to = p[x][i];		if (to == f) continue;		if (id[x] == to) continue;  //跳过这个儿子，再剩下点里面找一个最大的，就是这个点次大的		dp[1][x] = max(dp[1][x], dp[0][to] + val[x][i]);	}}void dfs2(int x,int f) {//这个是更新先往父亲节点走一步的最大和	for (int i = 0; i < p[x].size(); i++){		int to = p[x][i];		if (to == f) continue;		if (to == id[x])  //难点，每个父亲都有两种方式，一个是再往父亲走一步，一个是走父亲的子树，max(dp[2][x], dp[1][x])，这个就体现出这两部了，注意经不经过这个点直接走子树最大和的那个点			dp[2][to] = max(dp[2][x], dp[1][x]) + val[x][i];  //这个是针对儿子，所以是dp[2][to] = ，体现了先走一步父亲，经过就走次大的，再走最大的就重复了一段		else			dp[2][to] = max(dp[2][x], dp[0][x]) + val[x][i];		dfs2(to, x);  //因为dfs1更新了所有子树的特点，子树的信息可以直接用了，父节点的信息从一步步dfs下去都已经更新好了，上面的也是可以直接用，每一步都看看是不是走父亲的父亲更好，一直更新最优	}}int main() {	//freopen("in.txt", "r", stdin);	ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);	while (cin >> n) {		memset(dp, 0, sizeof dp);		for (int i = 0; i <= n; ++i)val[i].clear(), p[i].clear();		for (int i = 2; i <= n; ++i) {			int a, b; cin >> a >> b;			p[i].push_back(a);			val[i].push_back(b);			p[a].push_back(i);			val[a].push_back(b);		}		dfs1(1, -1);		dfs2(1, -1);		for (int i = 1; i <= n; ++i)			cout << max(dp[0][i], dp[2][i]) << endl;	}}