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代数发展史上的明珠

代数理论从一元一次方程到伽罗瓦群论代数方程，历经四千多年。其中关键人物有：

• 米拉子米（783-850）
• 卡尔达诺（1501-1576）
• 费拉里（1522-1565）
• 拉格朗日（1736-1813）
• 阿贝尔（1802-1829）
• 伽罗瓦（1811-1832）

拉格朗日是代数发展史上的重要人物之一，他的贡献深刻影响了代数方程的求解方式。

拉格朗日生平

拉格朗日于1736年1月25日出生于意大利都灵城，父辈是居住在意大利的法国人。他在法国资产阶级启蒙思想家的著作中成长，在17岁时转向数学研究，专注于变分法。

变分法在当时是数学的一个崭新分支，拉格朗日开创了变分法问题分析形式的一般解法，并将其应用于力学研究。变分法的发展经历了牛顿、莱布尼兹、伯努利、罗彼塔、惠更斯等数学家的探索，最终在1744年由欧拉汇总出版《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，使变分法成为一个数学分支的标志。

拉格朗日于1765年开始研究数论，证明了数论中的多项定理，包括费马定理和威尔逊定理。在微积分方面，他提出了拉格朗日中值定理、拉格朗日方程、拉格朗日余项，并尝试重建微积分的代数基础。他认为微积分可以看作是无穷项多项式的研究，但这一观点后来被证明是错误的。

在代数方程方面，拉格朗日于1771年发表了《关于代数方程解的思考》，引入了对称多项式理论、置换理论和预解式理论。他指出，根的排列理论是代数方程求解的核心。

拉格朗日还在微分方程领域贡献深远，提出了线性微分方程组中的线性变换特征值概念，并在流体力学领域研究偏微分方程。

《关于代数方程解的思考》

拉格朗日在1770-1771年发表的论文《关于代数方程解的思考》中提出了两大重要理论：置换思想和辅助方程理论。

置换思想是代数方程求解的本质，拉格朗日之前的代数求解方法依赖于特定的代数技巧，而置换思想则提供了一种更为通用的、一般性的求解方式。

辅助方程理论是拉格朗日的一大贡献，他提出通过辅助方程来求解高次代数方程。具体来说：

• 解二次方程需要先解一个一次辅助方程。
• 解三次方程需要先解一个二次辅助方程。
• 解四次方程同样需要解一个辅助方程。

辅助方程的核心在于确定其次数，这取决于原方程根的表达式在置换下的变化情况。

置换思想的出现

解高次代数方程的关键在于辅助方程的次数。拉格朗日提出的预解式理论揭示了辅助方程次数与原方程根的置换次数之间的关系。

预解式是原代数方程根的一个函数，通过对根的置换，可以获得预解式不同的表达式。不同次数的预解式对应不同的辅助方程次数。

拉格朗日的置换思想为代数方程求解提供了一种普适性的方法，其核心在于将代数方程的求解转化为预解式的求解。

五次及以上代数方程

拉格朗日并未成功证明五次及以上代数方程的解，但他提出的置换思想为后世开辟了新的研究方向。其弟子鲁菲尼和阿贝尔进一步研究，证明了五次及以上代数方程可能没有一般代数解。

参考文献