洛谷P2258子矩阵问题解答

问题描述

我们需要解决的问题是：给定一个矩阵，将其分割成若干个子矩阵，使得这些子矩阵的分割线的总和最小。这个问题可以通过动态规划和暴力枚举来解决。

思路总结

本题的解决方案分为以下几个步骤：

问题分析

我们需要找到一种方法，将原矩阵分割成若干个子矩阵，使得分割线的总和最小。通过对问题的分析，我们可以发现这是一个典型的二维矩阵分割问题。

动态规划与暴力枚举结合

为了高效地解决问题，我们采用动态规划的方法，同时结合暴力枚举来尝试所有可能的分割方式。具体来说，我们会选择某一特定行作为分割线，计算选择该行后的最小分割值。

状态定义与转移方程

定义 f[i][j] 为选择 i 行和 j 列的子矩阵的最小分割值。初始状态为 f[0][0] = 0。状态转移方程为：[f[i][j] = \min(f[i][j], f[i-1][k] + y[j] + x[k][j])]其中，k < j，y[j] 是某一行内的分割值，x[k][j] 是两列间的分割值。

暴力枚举与优化

为了实现上述状态转移，我们需要通过暴力枚举来尝试所有可能的行选择，并计算对应的分割值。这种方法在小规模问题中是可行的，但在大规模问题中可能需要进一步优化。

代码实现

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       using namespace std;int n, m, r, c, a[20][20], y[20], x[20][20], d[20], f[20][20], ans = 0x7F7F7F7F;void DP() {    int i, j, k;    memset(x, 0, sizeof(x));    memset(y, 0, sizeof(y));    memset(f, 127, sizeof(f));    for (i = 1; i <= m; ++i) {        for (j = 1; j <= r; ++j) {            y[i] += abs(a[d[j]][i] - a[d[j + 1]][i]);        }    }    for (i = c; i <= r; ++i) {        for (j = 1; j <= m; ++j) {            for (k = 0; k < j; ++k) {                x[i][j] += abs(a[d[k]][i] - a[d[k]][j]);            }        }    }    f[0][0] = 0;    for (i = 1; i <= r; ++i) {        for (j = 1; j <= m; ++j) {            f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][k] + y[j] + x[k][j]);        }    }    ans = min(ans, f[c][j]);}void DFS(int x, int s) {    if (s > r) {        DP();        return;    }    if (x > n) {        return;    }    DFS(x + 1, s);    d[s] = x;    DFS(x + 1, s + 1);}int main() {    ios::sync_with_stdio(false);    cin >> n >> m >> r >> c;    for (i = 1; i <= n; ++i) {        for (j = 1; j <= m; ++j) {            cin >> a[i][j];        }    }    DFS(1, 1);    cout << ans << endl;}

代码解释

初始化与输入处理

在 main 函数中，我们读取输入参数 n, m, r, c 和矩阵 a。然后调用 DFS 函数进行递归搜索。

动态规划函数 DP

在 DP 函数中，我们计算每一行的分割值 y 和每两列之间的分割值 x。接着，我们初始化动态规划数组 f，并根据状态转移方程计算最小分割值。

递归搜索函数 DFS

DFS 函数用于暴力枚举所有可能的行选择 d[s]，并递归地尝试选择不同的行作为分割线。最终调用 DP 函数计算最小分割值。

输出结果

在 main 函数中，我们输出最终的最小分割值 ans。

通过上述方法，我们可以高效地解决洛谷P2258子矩阵问题。

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