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莫比乌斯函数

对于$n\ge 0$，设数$n$的唯一分解式为$P_1^{{\rho }_1}{P}_2^{{\rho }_2}...P_n^{{\rho }_n}$

$\mu (n)=\{\begin{array}{rcl}1& & n=1\\ (-1{)}^s& & {\rho }_1={\rho }_2=...={\rho }_s=1\\ 0& & \exists {\rho }_i\ge 2\end{array}$

通俗地讲，莫比乌斯函数就是：

1. $\mu (1)=1$

2. 若$n$存在平方因子，$\mu (n)=0$

3. 若$n$是奇数个不同素数之积，$\mu (n)=-1$

4. 若$n$是偶数个不同素数之积，$\mu (n)=1$

性质

• 性质一：莫比乌斯函数是积性函数。若$gcd(n,m)=1$，则$\mu (nm)=\mu (n)\mu (m)$

  证明：对$n,m$唯一分解然后分类讨论即可

• 性质二：设$n\ge 1$，$d|n$（$d$是$n$的因子）

  ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[\frac{1}{n}]=\{$

  10​​n=1n≥2​

  证明：$n=1$时显然满足；设$n\ge 2$，数$n$的唯一分解式为$P_1^{{\rho }_1}{P}_2^{{\rho }_2}...P_s^{{\rho }_s}$，$d$的唯一分解式为$P_1^{{\alpha }_1}{P}_2^{{\alpha }_2}...P_s^{{\alpha }_s}$。根据莫比乌斯函数的定义和积性函数的性质可以得出：

  $$\begin{gathered} {\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{{\alpha }_1=1}^0{\sum }_{{\alpha }_2=1}^0...{\sum }_{{\alpha }_s=1}^0\mu (P_1^{{\alpha }_1}{P}_2^{{\alpha }_2}...P_s^{{\alpha }_s}) \\ ={\sum }_1^0\mu (P_1^{{\alpha }_1}){\sum }_1^0\mu (P_2^{{\alpha }_2})...{\sum }_1^0\mu (P_s^{{\alpha }_s}) \end{gathered}$$

  对于某一项${\sum }_1^0\mu (P_t^{{\alpha }_t})=1+(-1)=0$，那么所有项乘起来仍为$0$，原式得证。

• 性质三：${\sum }_{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\phi (n)}{n}$

  证明参见莫比乌斯反演关于$\phi (n)={\sum }_{d|n}\mu (d)\frac{n}{d}$的证明

求莫比乌斯函数

求单个数

int getMu(int n) {       if (n == 1) return 1;    int m = sqrt(n + 0.5), cnt = 0;    for (int i = 2; i <= m; i++) {           if (n % i == 0) {               if (n % (i * i) == 0) return 0;            n /= i;            cnt++;        }    }    if (n > 1) cnt++;    return cnt & 1 ? -1 : 1;}

线性筛选

若$i\%prime[j]!=0$，代表$i$中不含该质因子，也就是说乘上该质因子后恰好会多出一个系数为$1$质因子，因此$\mu (i\ast prime[j])=-\mu (i)$；

否则代表含有该质因子且系数会大于等于$2$，那么$\mu (i\ast prime[j])=0$

bool isprime[maxn];int mu[maxn], prime[maxn];void initMu() {       mu[1] = 1;    int cnt = 0;    for (int i = 2; i < maxn; i++) {           if (!isprime[i]) prime[cnt++] = i, mu[i] = -1;        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {               isprime[i * prime[j]] = 1;            if (i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];            else {                   mu[i * prime[j]] = 0;                break;            }        }    }}