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2.4 连续型随机变量及其概率密度

先来看在连续性随机变量中分布函数和概率密度函数的关系。

易得以下性质：

注意： 一个点的概率就相当于求在概率密度函数中一条线的面积，所以在连续型随机变量中每个点的概率都是0，故不用纠结不等式有没有等号。

例 1：

解：

均匀分布

均匀分布顾名思义就是概率密度在某个区间内不变，如图：

若想整体面积为1，那么不为0区域的$f(x)$应该等于此区间的倒数。

指数分布

如图：

求积分可得其分布函数：

挺少用这个出题的，这个比较特殊的一点是其无记忆性：

电子元件的工作寿命就是符合这个，一个新元件可以用$t$天的概率和它已经用了$s$天后再用$s+t$天的概率是相等的。

正态分布

性质：

注意： 拐点就是图形凹凸性发生变化的点。

其中$\mu$决定图形的左右位置，$\sigma$决定图形的高度。

由上可知，正态分布的图形各式各样，为了方便做题我们都把他化作标准正态分布，即$\mu =0$ ， $\sigma =1$。此时正态分布的函数图形就是一个关于y轴对称的偶函数了。

化作标准正态分布后我们就可以查表来求值了，转化方法为把 $x$ 化为 $\frac{x-\mu }{\sigma }$. 证明如下：

• 对于标准的正态分布来说$X$的取值几乎都集中在[-3 , 3]之间。
• 对于一般的正态分布来说$X$的取值几乎都集中在[$\mu -3\sigma$ , $\mu +3\sigma$]之间。（3$\sigma$原则）

例：

解：