部分分式分解：[f(z) = \frac{1}{(z - 1)(z + 1)} = \frac{1}{2(z - 1)} - \frac{1}{2(z + 1)}]

Laurent级数展开：

• 在 ( |z| > 1 ) 的区域，( \frac{1}{z - 1} ) 和 ( \frac{1}{z + 1} ) 分别展开为：[\frac{1}{z - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{z} \right)^n \quad (\text{收敛半径 } 1)][\frac{1}{z + 1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{z} \right)^n \quad (\text{收敛半径 } 1)]
• 因此：[f(z) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{z} \right)^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{z} \right)^n][= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n z^{n}} \quad (\text{收敛半径 } 1)]

奇点分析：

• ( z = 1 ) 是 ( f(z) ) 的极点。
• 该极点是单极点。
• 计算Residue：[\text{Res}(f; z = 1) = \text{常数项系数} = \frac{1}{2}]