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矩阵压缩与存储优化

矩阵压缩是为了在有限的存储空间内高效存储矩阵数据，以下是几种常见矩阵的压缩方法及其实现细节：

1. 对称矩阵

对称矩阵的特点是满足$a_{ij} = a_{ji}$。压缩时，只需存储主对角线及其下三角部分：

数组存储方式的公式为：$k = 1 + 2 + \dots + (i-1) + j-1$，其中$i$和$j$从1开始计数。

2. 三角矩阵

三角矩阵分为上三角和下三角矩阵，其特点是所有元素均为同一常量。压缩时：

存储公式与对称矩阵类似，$k = 1 + 2 + \dots + (i-1) + j$。

3. 三对角矩阵

三对角矩阵仅有主对角线及其两侧对角线非零。压缩方法是按行优先存储三对角线元素。

通过已知的下标$k$，可以通过逆推得出$i$和$j$，主要公式为：

• $i = \left\lceil \frac{\sqrt{8k-7}+1}{2} \right\rceil$
• $j = 2k - i^2$

4. 稀疏矩阵

稀疏矩阵的特点是Non-Zero元素稀少。压缩方法为：

存储方式要求$i$和$j$从0开始，Falsy表示缺失值。该方式虽然存储密度高，但失去了原矩阵的随机访问特性。

以上压缩方法可根据实际需求选择，以达到最佳存储效率。