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约瑟夫环问题解析

问题描述

约瑟夫环（Josephus problem）是一个经典的数学问题。设想n个人围坐在圆桌旁，编号为1到n。从编号为k的位置开始报数，数到第m个人的时候，该人离开圈子。接下来的报数从下一个未离开的人继续，从1开始计数，依此类推，直到只剩下最后一个胜利者。

以10个人为例，k=3，m=3的情况下，游戏过程如下：

数组求解方法

解题思想

数组求解的核心思想是用一个一维数组来记录每个人的状态。初始时，所有人都处于圈内（标记为1）。当某人被选出时，标记为0，表示已出圈。同时，报数器清零，下一个未离开的人继续从1开始报数。

具体步骤：

代码实现

#include 
   
    #define N 1000000int flag[N] = {0};int main() {    int n, m;    scanf("%d%d", &n, &m);    int i = 0, count = 0, num = 0;    for (i = 1; i <= n; i++) {        flag[i] = 1;    }    while (count < n - 1) {        for (i = 1; i <= n; i++) {            if (flag[i]) {                num++;                if (num == m) {                    printf("%d\n", i);                    flag[i] = 0;                    count++;                    num = 0;                    if (count == n - 1) break;                }            }        }    }    for (i = 1; i <= n; i++) {        if (flag[i]) {            printf("The last one is: %d\n", i);        }    }    return 0;}
   

循环链表求解方法

解题思想

约瑟夫环问题也可以通过循环链表来模拟解决。每个节点表示一个人，next指针表示下一个在圈中的节点。当某人被选出时，删除该节点，调整next指针，形成新的环。

代码实现

#include 
   
    #include 
    
     typedef struct node {    int number;    struct node *next;} Node;Node* CreatNode(int x) {    Node *p = (Node*)malloc(sizeof(Node));    p->number = x;    p->next = NULL;    return p;}Node* CreatJoseph(int n) {    Node *head, *p, *q;    for (p = q = 1; p <= n; p++) {        p = CreatNode(p);        if (p == 1) {            head = p;        } else {            q->next = p;            q = p;        }    }    q->next = head;    return head;}void RunJoseph(int n, int m) {    Node *p, *q;    p = CreatJoseph(n);    while (p->next != p) {        for (i = 1; i < m; i++) {            p = p->next;        }        q = p->next;        p->next = q->next;        free(q);        printf("%d--", q->number);    }    printf("\n最后剩下的数为：%d\n", p->number);}int main() {    int n, m;    scanf("%d%d", &n, &m);    RunJoseph(n, m);    return 0;}
    
   

递推公式求解方法

解题思想

约瑟夫环问题可以通过递推公式直接求解。已知f(n, m)表示n个人进行游戏中获胜者的编号，递推公式为：

f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n

其中，f(n-1, m)表示n-1个人时的胜利者编号。

递归代码实现

#include 
   
    int Joseph(int n, int m) {    if (n <= 1 || m <= 1) return -1;    if (n == 2) {        if (m % 2 == 0) return 1;        else return 2;    }    return (Joseph(n-1, m) + m - 1) % n + 1;}int main() {    int n, m, x;    scanf("%d%d", &n, &m);    x = Joseph(n, m);    printf("最后一个的编号是：%d\n", x);    return 0;}
   

迭代代码实现

#include 
   
    int Joseph(int n, int m) {    int i;    int y = 1;    if (m % 2 == 0) y = 1;    else y = 2;    for (i = 3; i <= n; i++) {        x = (y - 1 + m) % i + 1;        y = x;    }    return y;}int main() {    int n, m, x;    scanf("%d%d", &n, &m);    x = Joseph(n, m);    printf("最后一个人的编号是：%d\n", x);    return 0;}
   

实际应用

约瑟夫环问题在实际生活中有广泛应用。例如，在团建活动中，可以将参赛人员按照约瑟夫环规则安排座位，确保心仪的对象和你坐在同一圈中，有机会共同进决赛圈。