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Additive Inverse and Multiplication Inverse

在编程和数学中，有时我们会遇到需要找到逆元的问题。逆元通常用于解决以下两种类型的逆问题：加法逆元和乘法逆元。加法逆元的定义是在模运算中，与给定数加起来等于模数的数；而乘法逆元则是在模运算中，与给定数相乘等于1的数。

Fermat’s Theorem

费马定理告诉我们，当模数p是一个质数时，对于任何整数a，只要a不被p整除，那么a的(p-1)次幂在模p下等于1。这一理论在数论研究中具有重要地位，因为它为解决许多现象提供了基础。

Euler’s Theorem

欧拉定理扩展了费马定理，其适用于任何模数n（不需要是质数），而不是仅限于质数。在这种情况下，当a和n互质时，a的(n-1)次幂在模n下等于1。

Discrete Logarithm in Modular Arithmetic

离散对数问题在模运算中具有复杂性，它涉及找到一个整数x，使得a^x ≡ b (mod n)。尽管这一问题在数学上难以解决，但它在现代密码学中却具有重要应用。

Chinese Remainder Theorem（中国剩余定理，孙子定理）

中国剩余定理是一种关于解同余方程组的方法。如果方程组中的模数两两互质，那么定理保证存在唯一的解，这个解可以通过逐一解每个同余方程然后组合结果得到。

以上内容详细介绍了加法逆元与乘法逆元、费马定理、欧拉定理、离散对数以及中国剩余定理等核心模运算概念，每一部分都涵盖了理论背景及其在数学和密码学中的应用。