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低通滤波器及谐振器分析

问题一：低通滤波器的响应分析

差分方程假设

假设低通滤波器的差分方程为： [ y(n) = x(n) + 0.9y(n-1) ] 其中，y(n)为系统输出，x(n)为输入信号。

单位冲响应的求解

单位冲响应h(n)可以通过解差分方程求得，初始条件为y(-1) = 0，y(0) = 1。

解递推方程： [ h(n) = x(n) + 0.9h(n-1) ] 计算前几项：

• ( h(-1) = 0 )
• ( h(0) = 1 )
• ( h(1) = x(1) + 0.9h(0) = x(1) + 0.9 )
• ( h(2) = x(2) + 0.9h(1) = x(2) + 0.9(x(1) + 0.9) = x(2) + 0.9x(1) + 0.81 )
• 依此类推。

输入信号响应

对于输入信号x1(n)和x2(n)，系统响应分别为y1(n)和y2(n)。

• 使用MATLAB filter函数： [ y1(n) = filter(B, A, x1n) ] [ y2(n) = filter(B, A, x2n) ]

卷积法求解

单位脉冲响应h(n)可通过卷积公式求得： [ y = h * x ] 使用MATLAB conv函数： [ y21 = conv(h1, x1) ] [ y22 = conv(h2, x2) ]

问题二：谐振器分析

差分方程

谐振器的差分方程为： [ y(n) = x(n) - 1.8237y(n-1) + 0.9801y(n-2) ]

系统稳定性检查

检查谐振器是否稳定：

• 计算特征方程： [ s^2 - s + 0.9801 = 0 ] 解得根： [ s = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \times 0.9801}}{2} ] 计算判别式： [ D = 1 - 3.9204 = -2.9204 ] 判别式小于0，根为复数，谐振器稳定。

输入正弦信号响应

输入信号为正弦波： [ x(n) = \sin(0.014n) + \sin(0.4n) ] 计算谐振器响应： [ y31 = filter(B, A, un) ] [ y32 = filter(B, A, xsin) ]

输出响应

输出信号波形可通过tstem函数绘制。

MATLAB代码示例

% 系统响应及稳定性
% 系统差分方程系数
A = [1, -0.9];
B = [0.05, 0.05];
% 产生信号
x1n = ones(1, 128);
x2n = ones(1, 128);
% 单位冲响应
hn = impz(B, A, 58);
% 响应计算
y1n = filter(B, A, x1n);
y2n = filter(B, A, x2n);
% 调用tstem绘图
function tstem_plot
    n = 0:length(xn) - 1;
    stem(n, xn, '.');
    xlabel('n');
    ylabel('y');
    axis([0, n(end), min(xn), 1.2*max(xn)]);
end
% 单位冲响应
subplot(2, 2, 1);
title('(a) 单位冲响应h(n)');
tstem_plot(hn, 'h(n)');
% 输入信号响应
subplot(2, 2, 2);
title('(b) 对x1(n)的响应y1(n)');
tstem_plot(y1n, 'y1(n)');
subplot(2, 2, 4);
title('(c) 对x2(n)的响应y2(n)');
tstem_plot(y2n, 'y2(n)');
% 卷积法求解
x1 = ones(1, 10);
h1 = ones(1, 10);
h2 = [1, 2.5, 2.5, 1, zeros(1, 10)];
y21 = conv(h1, x1);
y22 = conv(h2, x1);
% 绘制卷积结果
subplot(2, 2, 3);
title('(d) h1(n)和x1(n)的卷积');
tstem_plot(y21, 'y21(n)');
subplot(2, 2, 4);
title('(e) h2(n)和x1(n)的卷积');
tstem_plot(y22, 'y22(n)');
% 谐振器分析
un = ones(1, 256);
xsin = sin(0.014*un) + sin(0.4*un);
y31 = filter(B, A, un);
y32 = filter(B, A, xsin);
% 绘制谐振器响应
subplot(2, 1, 1);
title('(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)');
tstem_plot(y31, 'y31(n)');
subplot(2, 1, 2);
title('(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)');
tstem_plot(y32, 'y32(n)');

结果分析

• 单位冲响应波形：h(n)呈现出衰减震荡特征。
• 输入信号响应：y1(n)和y2(n)显示系统对不同信号的调制效果。
• 卷积结果：h1(n)和h2(n)的卷积结果分别显示系统对不同脉冲的响应。
• 谐振器响应：y31(n)显示系统对单位脉冲的稳定响应，y32(n)展示对正弦波的调制效果。

通过以上步骤，可以系统地分析低通滤波器和谐振器的响应特性，并验证系统的稳定性。