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解法框架

解题思路与实现

这道题可以通过回溯算法解决。回溯算法在编程中广泛应用于确定是否存在满足特定条件的子集，本题即是其典型应用之一。本文将从核心逻辑开始，逐步分析解决方案，并结合优化技巧说明实现方法。

首先，我们需要明确问题：在给定的球中，找到满足子集中所有数字之和大于所有数字之积的子集数量。算法选择，这个问题的解是通过回溯探索所有可能的子集，检查每个子集是否满足条件。

在编程实现前，需要对球列表进行排序。排序的目的是使得回溯过程中可以基数上优化。通常，我们会按照从小到大的顺序排列。

接下来的关键在于回溯函数的设计。递归函数需要传达以下几点信息：

• 当前处理的球位置
• 目前累计的和sum
• 目前累计的积multi
• 剩余需要处理的球数量
• 记录满足条件的子集数量（用全局变量保存，或者通过返回值处理）

重新思考递归参数：

• 选择的范围：从pos开始，遍历到n的长度。
• 当前状态：sum和multi。需要注意的是，每次选中一个球，都需要在递归结束时撤销这次选择（即sum减去球的值，multi除以球的值，以维持正确的递归路径）。

算法核心逻辑：

for 循环每次处理球[ i ]

重要值得注意的是，为了避免重复计算和不必要的回溯，需要在处理后续元素之前，优化i的位置。即如果前一个球已经选择了一个1，那么后续的球加上这个1后，可能还是不满足条件，而通过递推便可以跳过一部分重复的情况。

代码实现要点：

• 全局变量ret初始化为0，用于记录满足条件的子集数量。
• 递归函数参数为当前的球数组、n、pos（当前处理的球的位置）、sum（当前累计的和）、multi（当前累计的积）。
• 每次进入递归时，处理当前球的选择： a. 将球[ i ]加入sum，乘以multi； b. 检查sum和multi的关系：
  • 如果sum > multi，说明存在一个符合条件的子集，ret增加；
  • 否则，如果球[i]等于1，继续递归；
  • 否则，继续循环； c. 递归结束后，撤销当前选择：sum减去球的值，multi除以球的值；
• 最后，回到最高层。

代码实现示例：

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
using namespace std;
int ret = 0;  // 结果变量
void backtracking(vector
      
       & ball, int n, int pos, int sum, int multi) {
    for (int i = pos; i < n; ++i) {
        sum += ball[i];
        multi *= ball[i];
        if (sum > multi) {
            ret++;
            backtracking(ball, n, i + 1, sum, multi);
        } else if (ball[i] == 1) {
            backtracking(ball, n, i + 1, sum, multi);
        } else {
            break;
        }
        sum -= ball[i];
        multi /= ball[i];
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector
       
         ball;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int temp;
        cin >> temp;
        ball.push_back(temp);
    }
    sort(ball.begin(), ball.end());
    backtracking(ball, n, 0, 0, 1);
    cout << ret << endl;
    return 0;
}
       
      
     
    
   

代码中的一些具体实现细节：

• 每个递归调用中的sum和multi都是基于当前路径进行更新和维护的。
• 在递归结束后，由于sum和multi都进行了回退（sum减去球值，multi除以球值），因此能够避免对全局变量造成干扰。
• 由此实现了深度优化的递归过程，避免重复计算和不必要路径的选择。

本算法的时间复杂度约为O(2^n)，这是比较适合小规模测试的算法。对于较大的n值，可能需要对想了解决问题的高效算法进行妥协，但这道题的普遍情况下，这个简单有效的回溯算法已经足够解决问题。