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牛顿-莱布尼茨公式是一种核心的定理，在高等数学和工程中广泛应用。它的常见形式是对函数从a到b的积分等于函数在b处的原函数值与a处的原函数值之差：

∫₁ᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

其中，F(x) 是 f(x) 的原函数。证明这一定理的过程涉及到对原函数的基本性质的理解和应用。

原函数的定义

设 F(x) 是 f(x) 的原函数，则根据定义： F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt + C 其中，C 是积分常数。

证明 F'(x) = f(x)

根据导数的定义，对 F(x) 求导得到： F'(x) = limₕ→0 [F(x+h) - F(x)] / h

由于 F(x+h) - F(x) = ∫ₐᵏ f(t) dt + ∫ᵏ^{x+h} f(t) dt Where h > 0。利用积分中值定理，积分 ∫ₐᵏ f(t) dt 可以表示为 f(c₁) × h，其中 c₁ ∈ (a, k)。类似地，积分 ∫ᵏ^{x+h} f(t) dt 可以表示为 f(c₂) × h，其中 c₂ ∈ (k, x+h)。

因此： F'(x+h) - F(x) = [f(c₁) + f(c₂)] × h

随着 h 趋近于 0，c₁ 趋近于 a，c₂ 趋近于 x。因此： limₕ→0 [f(c₁) + f(c₂)] = f(x)

所以： F'(x) = f(x)

使用积分中值定理证明

我们已经有 F'(x) = f(x)，接下来利用积分中值定理来证明原式。

根据积分中值定理，存在 c ∈ (a, b) 使得 ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c) × (b - a)

这表明 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)，因为 F(b) - F(a) = ∫ₐᵇ f(x) dx。

结论： ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

此外，我们还可以证明 F(x) 的常数项 C 恒为任意常数，其 导数 对 C 而言为0。实际上，当 a = x 时，F(a) = F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt + C，其中 ∫ₐˣ f(t) dt = 0 不管积分常数是什么，这都是正确的。

整个证明过程依赖于对积分和导数定义的深刻理解，特别是积分中值定理的应用，使得牛顿-莱布尼茨公式得以严谨地被证明。