考研高数——反常积分敛散性的判别的两个重要结论
发布日期：2021-05-13 23:07:58
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分类：精选文章
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反常积分敛散性的判别对于分析与解决实际问题具有重要意义。本文将重点讨论两类反常积分的收敛性：
一、无穷区间的反常积分 ∫₁^∞ 1/xᵖ dx
当 p > 1 时，积分收敛。
- 如 defenses dfsdf.ppt 中提到的，积分表达式可化简为 (x^{1-p})/(1-p) + C。
当 p ≤ 1 时，积分发散。
- 当 p = 1 时，积分不存在。
- 当 p < 1 时，由于 ln x 在 (1, ∞) 恒正，该反常积分趋于无穷大。
二、无界函数的反常积分 ∫₀¹ 1/xᵖ dx
当 p < 1 时，积分收敛。
- 图示中可观察到，在 0 < x < 1 的区间内，ln x 恒负，进而影响积分收敛性。
当 p ≥ 1 时，积分发散。
- 特别是当 p = 1 时，积分结果趋于无穷大。
- 当 p > 1 时，调整后的定理表明，由于指数函数e^{(1-p)ln x} 在区间内趋向于零。
上述结论为后续分析反常积分问题提供了重要依据，需与具体数学模型结合应用。
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[***.207.175.100]2025年04月10日 06时05分53秒
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