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Armstrong公理系统及其应用

引言

Armstrong公理系统是描述属性集和函数依赖关系的形式化框架，广泛应用于数据库理论和知识工程领域。该系统通过一系列推理规则（自反律、传递律等），定义了数据库关系的合并、分解和伪传递性质。本文将详细介绍Armstrong公理系统的推理规则，并展示其闭包计算方法。

Armstrong公理系统的推理规则

Armstrong公理系统定义了一系列推理规则，用于确定函数依赖关系的蕴涵性。这些规则包括：

推论规则

通过上述三条基例，可得出以下推论规则：

• 合并规则：若X→Y和X→Z，则X→YZ亦成立。

  证明：由增广律可得X→XY和X→Z，再组合X→XY和X→Z（传递律）可得X→YZ。

• 伪传递规则：若X→Y和WY→Z，则XW→Z也成立。

  证明：由增广律可得W→WY和Y→Z，再组合得W→Z。结合X→Y和WY→Z，传递律可得XW→Z。

• 分解规则：若X→Y且Z包含于Y，则X→Z也成立。

  证明：因Z⊆Y，自反律可得Y→Z，再利用传递律得X→Z。

属性集的闭包及其计算

定义1

函数依赖集合F的闭包F+，是所有F蕴含的关系模式的全体，记为F+。即F+[1]X→Y的集合。

定义2

一个属性集X关于F的闭包X+F定义为所有满足X→A的属性集A，即X+F = {A ∈ U | X→A ∈ F+}。

定理1

对于任意关系模式R(U, F)和真子集X≠Y，若F推导X→Y，则且仅则Y是X+F的真子集。

属性闭包的计算方法

计算X+F通常采用西蒙斯算法，通过反复应用Armstrong规则生成所有可能的函数依赖，得到最小闭包。

• Step 1：收集所有从F出发的可推导函数依赖。
• Step 2：由这些依赖生成更多的依赖，直到闭集不再扩变。

通过这种方式，可以得到X+F的最小闭包。

总结

Armstrong公理系统为函数依赖关系提供了一个形式化的推理框架，其推理规则和闭包计算方法极大地简化了数据库设计和验证过程。理解这些规则对于数据库关系的形式化描述和应用至关重要。