(四月八号）终端加负载的无损耗传输线重要参数的推导-白红宇的个人博客

发布日期：2021-05-10 03:24:43 浏览次数：20 分类：精选文章

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一、对于终端加负载的无损耗传输线（R=G=0）

对于这种传输线，其阻抗决定式为： $Z_{0}=\sqrt{\frac{R+jWL}{G+jWC}}=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{u}{\varepsilon }}*\frac{d}{w}$ ，即其阻抗只和微带线的材料及结构有关，R(电阻)和G(电导)的值表示传输线的损耗衰减特性，L(电感)和C(电容)与相速度有关，这种传输线具有几个重要物理参数如下：

1、电压反射系数

一个入射的电磁波在射频系统里面可能会有同时由入射波和反射波的存在，那么入、入射电压波与反射电压波之比就是电压反射系数，同理当然也有电流反射系数了。我直接把公式写出来了，

即： $\Gamma _{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$ ，推导过程如下：

$\Gamma _{0}=\frac{V^{-}}{V^{+}}$

$V(z)=V^{+}e^{-kz}+V^{-}e^{kz}=V^{+}(e^{-kz}+\Gamma _{0}e^{+kz})$

$I(z)=\frac{V^{+}}{Z_{0}}(e^{-kz}-\Gamma _{0}e^{+kz})$

当z=0时， $Z(0)=Z_{L}=Z_{0}\frac{1+\Gamma _{0}}{1-\Gamma _{0}}$

可推导出： $\Gamma _{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$

对 $\Gamma _{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}$ 的分析
$Z_{L}\rightarrow \infty$	开路， $\Gamma_{0}=1$	反射电压波波与入射电压波波极性相同，有相同相位
$Z_{L}\rightarrow0$	短路， $\Gamma_{0}=-1$	反射电压波与入射电压波极性相反，有相反的振幅
$Z_{L}\rightarrow Z_{0}$	阻抗匹配， $\Gamma_{0}=0$	没有反射波，入射电压被完全吸收，相当于连接了无限长且特性阻抗相同的传输线
在高速数字电路中反射波的存在会造成波形的失真，让数据传输错误

2、传播常数

复数传播常数满足： $\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}$ ,R=G=0,故 $\gamma =jw\sqrt{LC}$ ， $\beta =w\sqrt{LC}$

注意：这里的 $\alpha$ 是衰减系数由R于G决定， $\beta$ 是相位常数由L和C决定。

相速度: $V_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ ，

推导过程：假设一个电磁波的电压波表达式为： $V(t,z)=Acos(wt\pm\beta z )$ ,很明显电压波的大小与时间和空间都有一定关系。 $V(t+\Delta t,z+\Delta z)$ 与 $V(t,z)$ 相比的相位变化为

$w(t+\Delta t)-\beta (z+\Delta x)\rightarrow w\Delta t=\beta \Delta z$ ,即 $V_{p}=\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{w}{\beta }\rightarrow \beta =\frac{w}{V_{p}}=\frac{2\pi f}{\lambda /T}=\frac{2\pi f}{\lambda f}=\frac{2\pi }{\lambda }$

$V_{p}=\frac{w}{\beta }=\frac{w}{w\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

3、驻波

驻波比： $SWR=\frac{\left | V_{max} \right |}{\left |V_{min} \right |}=\frac{\left |I_{max} \right |}{\left |I_{min} \right |}=\frac{1+\left | \Gamma_{0} \right |}{1-\left |\Gamma _{0} \right |}$ ，为了量化不匹配的程度，引入驻波比，也叫驻波系数，传输线上电压最大幅度与电压最小幅度的比值。