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上一篇说到四元数的旋转表示，即从轴角法表示变化成的单位四元数的形式，即：
但是并没有说它是怎么来的。区区一个结果怎么能行呢，所以这里我就来细细说一说四元数的运算法则。
为了方便表示，这里规定两个四元数作为我们接下来演示用的小白鼠：
四元数基本运算
加减
加减法很简单，没什么好说的，只要把对应位置的元素加减就行：
写成矢量、标量部分分开的表示形式也可以：
乘法
之前给出过有关 (i, j, k) 的运算律：
- (i^2=j^2=k^2=-1);
- (ij=k, jk=i, ki=j);
- (ij=-ji, jk=-kj, ki=-ik).
根据这些，我们把两个四元数当做多项式来计算，就可以得出结果。由于结果太长了，我们换个写法：假定 (q=q_1q_2=[w, x, y, z]), 那么
好家伙，这是真的长。有没有更简洁的表达方式呢？答案是有的。把四元数写成矢量、标量部分之后，我们会发现，计算结果的标量部分，也就是上面的 (w)，可以写成：
而矢量部分的计算，也就是上面的 (x, y, z)，每一个式子都有四项，这四项可以按照是否含有标量部分因子被分为两部分：含有标量因子的组合起来，我们看到它是 (sboldsymbol{v}+tboldsymbol{u}). 而不含有标量因子的部分，看上去像是行列式的形式，这里直接说结论吧，这部分可以写成 (boldsymbol{utimes v}). 于是，计算结果可以表示成
这时，我们请出老朋友二元复数，我们可以看到很多相似点，四元数的乘积比普通的复数多了一项：(boldsymbol{u}timesboldsymbol{v}). 这一项决定了四元数的乘法没有交换律，甚至不具有反交换律。有趣的是，如果矢量部分是同向或反向的，这一项就是 0，而对于一般的复数，虚部只有一个单位 (i)，它们只能共线。
模
按照直觉，四元数 (q) 的模 (||q||)，应该就是把四个成员取平方加起来再开方，也就是常说的二范数。实际上也是如此。这部分就这样，公式就不写了。是不是很无聊？这可能是本文最无聊的一个小节了 2333。
共轭
四元数有三个虚部，怎么求共轭呢？答案很简单，就是把三个虚部都反过来。举个例子，(q=(s, boldsymbol{u}))，那么 (q) 的共轭为
这个定义符合在二元复数里我们对共轭的一般认知，也是就是，满足共轭的运算律。比如说：
具体证明按照上面的乘法运算律算一算就知道了，不算复杂。
旋转的四元数表示究竟是怎么来的
旋转的分解
为了搞清楚这个问题，我们首先要将旋转操作相关的量用四元数表示出来。其实只有三个相关的向量：旋转前向量 (boldsymbol{u}), 旋转后向量 (boldsymbol{v}), 和旋转轴 (boldsymbol{n}) 和一个角度，即旋转角 (theta). 旋转前后的向量可以用纯四元数表示，即转前：(u=(0, boldsymbol{u}))，转后：(v=(0, boldsymbol{v})). 注意，这里的转轴的表示向量 (boldsymbol{n}) 是一个单位向量。
要解决这种这种绕固定轴旋转的问题，一个自然的思路是将被旋转的向量分解成平行于轴向的 (boldsymbol{u}_{parallel}) 和垂直于轴向的 (boldsymbol{u}_perp).
显然，旋转对于平行分量是无作用的，只作用于垂直分量。暂且不考虑与转轴平行的分量，我们将目光放在垂直分量上。把 (boldsymbol{u}_perp) 旋转 (theta) 角度，得到的结果就是 (boldsymbol{v}_perp)，所以后者相对前者的分量，也就是在 (boldsymbol{u}_perp) 和 (boldsymbol{n}timesboldsymbol{u}_perp) 这两个垂直方向上的分量，我们是知道的，我们有：
对比一下我们之前说过的四元数乘积形式，不难发现，如果我们用 (q=(costheta, boldsymbol{n}sintheta)) 来左乘 (u_{perp}=(0, boldsymbol{u}_perp))，会得到：
代数小 trick
我们已经很接近最终结果了，这个结论和最终结论的差异就在于，被乘的是整个 (q) 而不是它的分量。要做的就是找到一种运算，可以不影响平行分量，只作用于垂直分量。看看在本文开始提出的最终结果，如果把它取平方的话，会发现
这就是我们说的作用于垂直分量的四元数 (q).
再进一步，我们把旋转写成一个很好看的形式：
因为 (p) 是单位四元数，所以 (p^{-1}=p^star) （不理解的话可以参考二元复数的性质）注意 (p) 的矢量部分，是和转轴平行的，那么把下面的引理一说，大家就明白我要做什么了：
引理：
假设 (u=(0, boldsymbol{u})) 是一个纯四元数，而 (q=(alpha, betaboldsymbol{n}))，其中 (boldsymbol{n}) 是一个单位向量，(alpha, beta in R)， 那么，根据 (boldsymbol{n}) 和 (boldsymbol{u}) 之间的关系，有以下结论：
- 若 (boldsymbol{n} parallel boldsymbol{u})， 则 (qu = uq);
- 若 (boldsymbol{n} perp boldsymbol{u})，则 (qu=uq^star).
证明同样省略，直接计算就得到了。
有没有发现，旋转后的两项刚好分别符合引理中的两个结论。于是：
这就是我们的结论啦。
四元数运算的 Python 实现
四元数这个东西说年轻也不算年轻，那么是不是有相关的库呢？我在 GitHub 上面翻了翻，还真有，而且已经有 300+ stars 了。
> 链接在这 <
具体来说，这个库是为 numpy 提供了一个四元数的 dtype，而对于简单的单个四元数的运算也是完全可以胜任的。注意，如果你对运行速度有要求（或者单纯有强迫症，不想每次运行都看到 warning），最好安装一下 numba，这是一个提高 Python 运行速度的工具。
这个库的安装很简单，因为它已经加入 PyPI 了。注意这个包是基于 numpy 的所以要先安装 numpy.
pip install numpy-quaternion
有了这个工具，我们就可以轻松地应对四元数的运算了：
import numpy as npimport quaternionq1 = np.quaternion(1, 2, 3, 4)q2 = np.quaternion(5, 6, 7, 8)print("q1 = ", q1)print("nq2 = ", q2)print("nq1 + q2 = ", q1 + q2) # quaternion(6, 8, 10, 12)print("nq2 - q1 = ", q2 - q1) # quaternion(4, 4, 4, 4)print("nq2 * q1 = ", q1 * q2) # quaternion(-60, 12, 30, 24)print("nThe conjugate of q1 is ", q1.conjugate()) # quaternion(1, -2, -3, -4)print("nThe square of q1's norm is ", q1.norm()) # 30.0 这里输出的实际上并不是模，而是模的平方，算是 bug 吧:-/arr = np.array([[q1, q2]])print("nThere is an example of array of quaternions:n", arr)print("nIts transpose times itself is:n", arr.T * arr)print("nIts elementwise exponential in base e is:n", np.exp(arr)) 注意几个点：
- 现行版本的内置函数
norm是有问题的，会返回模的平方，如果需要求模记得取平方根； numpy的一些逐元素执行的运算，如上面例子中的numpy.exp在这个库中也是实现了的。- 这里我没有讲四元数的指数运算，不过其实很简单 w 感兴趣的可以自行了解或者在评论区留言。
- 四元数乘法没有交换律，这一点在矩阵运算的时候也有体现。
结尾
例行总结好无聊啊，不想写，那就写一下本文的参考吧。
本文的求解思路参考了 Krasjet 的四元数与三维旋转一文的思路文章讲解十分详实，推荐阅读。
就到这里啦，有什么问题或发现什么错误可以留言或者私信呀。
祝福每一个在努力学习的人 : )
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