最小二乘法

最小二乘法，可以理解为最小平方和，即误差的最小平方和，在线性回归中，\(误差=真实值-预测值\)。最小二乘法的核心思想就是——通过最小化误差的平方和，使得拟合对象无限接近目标对象，最小二乘法一般解决线性问题。

一、最小二乘法——代数法

假设线性回归的假设函数为

\[\begin{align}h_\omega(x_0,x_1,\cdots,x_n) & = \omega_0x_0+\omega_1x_1+\cdots+\omega_nx_n \\& = \sum_{i=0}^n \omega_ix_i\end{align}\]

其中\(n-1\)是特征数。如果针对所有的\(\omega_i\quad(i=1,2,\cdots,n)\)而言，假设函数是非线性的，但是针对某一个\(\omega_i\)的话，由于变量只剩下一个\(\omega_i\)，假设函数就是线性的，既可以使用最小二乘法求解。

通过线性回归的假设函数既可以得到目标函数为

\[\begin{align}J(\omega_0,\omega_1,\cdots,\omega_n) & = \sum_{j=1}^m (h_\omega(x^{(j)})-y^{(j)})^2 \\& = \sum_{j=1}^m(\sum_{i=0}^n \omega_ix_i^{(j)} - y^{(j)})^2\end{align}\]

其中\(m\)为样本数。

利用目标函数分别对\(\omega_i\)求偏导，并且令导数为0，即

\[\sum_{j=1}^m \sum_{i=0}^n (\omega_ix_i^{(j)} - y^{(j)})x_i^{(j)} = 0\]

通过求解上式，可以得到\(n+1\)元一次方程组，通过求解这个方程组就可以的得到所有的\(\omega_i\)。

二、最小二乘法——矩阵法

最小二乘法矩阵法比代数法简单不少。我们把代数法中线性回归的假设函数可以写成

\[h_\omega(X) = X\omega\]

其中\(h_\omega(X)\)是\(m*1\)维的向量，\(X\)是\(m*n\)维的矩阵，\(\omega\)是\(n*1\)维的向量，\(m\)为样本数，\(n\)为特征数。

通过上述矩阵形式的假设函数可以得到矩阵形式的目标函数为

\[J(\omega)={\frac{1}{2}}(X\omega-Y)^T(X\omega-Y)\]

其中\({\frac{1}{2}}\)只是为了方便计算。

目标函数对\(\omega\)求导取0，可以得

\[\nabla_\omega{J(\omega)} = X^T(X\omega-Y) =0\]

上述求偏导使用了矩阵求导链式法则和两个矩阵求导的公式

\[\begin{align}& \nabla_X(X^TX) = 2X \\& \nabla_Xf(AX+B) = A^T\nabla_{AX+B}f\end{align}\]

通过对上述式子整理可得

\[\begin{align}& X^TX\omega=X^TX\quad{两边同时乘}(X^TX)^{-1} \\& \omega = (X^TX)^{-1}X^TY\end{align}\]

通过上述的化简可以直接对向量\(\omega\)求导，而不需要对\(\omega\)中的每一个元素求偏导。

三、最小二乘法优缺点

3.1 优点

简洁高效，比梯度下降法方便

3.2 缺点

最小二乘法需要计算\(X^TX\)的逆矩阵，可能\(X^TX\)没有逆矩阵(一般需要考虑使用其他的优化算法，或者重新处理数据让\(X^TX\)有逆矩阵)

当特征数\(n\)非常大的时候，\(X^TX\)的计算量非常大(使用随机梯度下降法或使用降维算法降低特征维度)

最小二乘法只有拟合函数为线性的时候才可以使用(想办法通过某些机巧让拟合函数转化为线性的)

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