多视图几何总结——从本质矩阵恢复摄像机矩阵-白红宇的个人博客

发布日期：2021-05-08 21:09:25 浏览次数：13 分类：精选文章

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多视图几何总结——从本质矩阵恢复摄像机矩阵

在多视图几何中，本质矩阵是研究立体几何和计算机视觉中的重要工具。它是归一化坐标下基本矩阵的特殊形式，具有五个自由度。通过八点法或五点法可以求出本质矩阵，而我们需要从中恢复出实际想要的旋转矩阵 R 和平移矩阵 t。本质矩阵的奇异值特性为两个相等的奇异值和一个零奇异值，这使得它在几何变换中具有特殊性。

本质矩阵 E 有以下性质：

反对称矩阵分解

本质矩阵可以分解为反对称矩阵 S 和旋转矩阵 R 的乘积，即 E = S R。其中 S 为反对称矩阵，其结构可以表示为 S = k U Z U T，其中 U 和 Z 是正交矩阵，k 是比例常数，Z 是一个特定的旋转矩阵。

反对称矩阵的特性

反对称矩阵 S 满足 S S T = -I，其秩为 2，特征值为 0 和 ±λ，其中 λ 是反对称矩阵的模长。通过分解 S = U Z U T，其中 Z 是一个固定旋转矩阵，U 是任意的正交矩阵，可以进一步分析其几何意义。

奇异值分解

本质矩阵的奇异值分解 (SVD) 为 U diag(1,1,0) V T，其中 U 和 V 是正交矩阵，diag(1,1,0) 是对角矩阵。这种分解揭示了本质矩阵的几何特性。

为了恢复摄像机矩阵，我们需要从本质矩阵的分解中提取旋转矩阵 R 和平移矩阵 t。

分解形式

本质矩阵 E 的分解为 S R，其中 S = U Z U T，R = U W V T 或 U W T V T。这里 W 和 V 是任意的正交矩阵，U 是初始化矩阵。

平移矩阵恢复

平移矩阵 t 可以从 U 的第三列恢复出来，通常取 U 的最后一列（即 U(0,0,1)T）。这一步不需要额外计算，直接从分解结果中获取。

旋转矩阵的两种可能性

旋转矩阵 R 可能有两种分解形式：UWV T 或 UW T V T。这两种形式对应了旋转矩阵的两种可能解，需要通过实际应用场景选择合适的解。

摄像机矩阵构建

摄像机矩阵 P' 由旋转矩阵 R 和平移矩阵 t 组成，具体形式为 P' = [UWV T | ±u3] 或 [UW T V T | ±u3]。这里 u3 是 U 的第三列，±表示两种可能的平移方向。

通过上述步骤，可以从本质矩阵的分解中恢复出摄像机矩阵的具体形式。这一过程结合了几何变换和代数分解，揭示了摄像机矩阵的深层结构。

最终，通过对多视图几何模型的分析，可以验证不同分解形式对应的摄像机矩阵是否一致，并通过空间点测试进一步验证其准确性。这一研究为多视图几何中的摄像机参数估计提供了理论基础和实践方法。

上一篇：论文阅读——《Robust Superpixel Tracking》

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