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多视图几何总结——等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换

多视图几何再2.4节中介绍好几种变换，有时候容易绕懵，这里花点时间简单总结下

首先只管感受下这几种变换 其中图a是相似变换，其效果是圆仍然是圆，正方形仍然是正方形；图b是仿射变换，其效果是圆变成椭圆，垂线不再垂直；图c是射影变换，其效果是平行线变成汇聚线，下面分别从数学层面介绍这几种变换。

等距变换

等距变换也就是我们在机器人中所学的刚体变换，其分块形式为 其中$R$为旋转矩阵（为正交阵），$t$为平移矢量，在平面等距变换中矩阵一共有三个自由度，旋转一个，平移两个

其变换不变量是：长度、角度和面积

相似变化

相似变换是等距变换与均匀缩放的复合，其分块形式为： 观察矩阵形式，其实就是在旋转矩阵上加了一个缩放因子s，其一共有四个自由度，因为比等距变换多了一个自由度

其不变量为：长度的比率、角度和面积的比率

仿射变换

其分块形式为 其中A是一个$2\times 2$的非奇异矩阵，因此仿射变换一共六个自由度，其中比较有意思的是对矩阵$A$的理解，可以对$A$进行SVD分解$$A=UD{V}^T=(U{V}^T)(VD{V}^T)=R(\theta )(R(-\varphi )DR(\varphi ))$$因此仿射矩阵可以看成一个旋转$(\varphi )$，加上在已旋转的$x$和$y$方向分别进行比例因子${\lambda }_1$和${\lambda }_2$（分解出来的特征值或者说矩阵$D$的对角线元素）分别进行按比例缩放，再加上一个回转$(-\varphi )$和最后一个旋转的符合类型$(\theta )$，这在我学矩阵论是遇到SVD分解时就思考过的问题，这里解释得很好，可以参考下图理解 其不变量为：平行线段的长度比，平行线和面积比（所有面积都缩放${\lambda }_1{\lambda }_2$倍）

补充：

仿射变换是保持无穷远线不变形的最一般的线性变换，这句话的意思就是说，例如射影变换是会将无穷远点变成有限点，因此原本平行的直线不再平行，而仿射变换之后平行直线仍然平行，因为其不改变无穷远点的性质

射影变换

其分块形式为 仿射变换是非齐次坐标的一般非奇异线性变换和一个平移的符合，其一共具有八个自由度

其不变量为：共点，共线，接触的阶还有长度的比率的比率

总结

这里可以注意下仿射变换和射影变换的区别如下：

仿射变换 射影变换 其中$(x_1,x_2.0{)}^T$是无穷远点（无穷远点的表示方法就是其次坐标最后一位为0），可以发现通过仿射变换无穷远点还是无穷远点，但是通过射影变换可以将无穷远点变换为有限点，正因为如此，射影变换可以完成消除透视失真操作： 最后铺上一张多视图几何中关于几种变换的总结表： 有问题欢迎交流指正～