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圆上均匀分布100个点的连线保留问题

问题描述

在一个圆上均匀分布了100个点，编号从1到100。给定n对数对(a, b)，每对数对代表圆上点a和点b之间有一条连线。任务是要保留尽可能多的连线，使得这些连线互不相交。

解法

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming，DP）来解决这个问题。设ans[i][j]表示弧i-j上最多可以保留的连线数。递推公式如下：

$$ ans[i][j] = \max(ans[i][k] + ans[k][j]) + l[i][j] $$

其中，k是弧i-j上的点，l[i][j]是1或0，表示i和j之间是否有连线。

此外，对于弧i-j的长度较大时，我们需要将其分成两个半圆进行处理。具体来说，如果弧i-j的长度超过一定阈值（例如50），则将其分成两部分进行DP计算，然后合并结果。

代码实现

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
using namespace std;
int main() {
    freopen("line.in", "r", stdin);
    freopen("line.out", "w", stdout);
    int n, a, b, l[120][120], e, le, ld, ans[120][120], anss = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        l[a][b] = l[b][a] = 1;
    }
    for (int i = 2; i <= 51; ++i) {
        for (int q = 1; q <= 100; ++q) {
            e = q + i - 1;
            le = (e - 1) % 100 + 1;
            for (int d = q; d <= e; ++d) {
                ld = (d - 1) % 100 + 1;
                if (ans[le][q] < ans[q][ld] + ans[ld][le]) {
                    ans[le][q] = ans[q][ld] + ans[ld][le];
                }
            }
            ans[le][q] += l[q][le];
            if (ans[le][q] > anss) {
                anss = ans[le][q];
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= 50; ++i) {
        int j = (i + 99) % 100 + 1;
        int k = (i + 50) % 100;
        int m = (j - 50) % 100 + 1;
        if (k > m) {
            k = m;
        }
        ans[i][j] = ans[i][k] + ans[k][j];
        if (l[i][j] > 0) {
            ans[i][j] += 1;
        }
        if (l[i+50][k] > 0) {
            ans[i][j] += 1;
        }
        if (l[i][k] > 0) {
            ans[i][j] += 1;
        }
        if (l[i+50][j] > 0) {
            ans[i][j] += 1;
        }
        if (l[i][j] > 0 || l[i+50][k] > 0) {
            ans[i][j] += 1;
        }
        if (ans[i][j] > anss) {
            anss = ans[i][j];
        }
    }
    printf("%d", anss);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}
     
    
   

结果输出

程序会读取输入数据，计算每个区间的最优解，并输出最终结果。最终结果即为保留的最多不相交连线的数量。