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如何理解“堆”？

堆是一种特殊的树。只要满足下面两点，它就是一个堆。

• 堆是一个完全二叉树：
  • 完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
  • 对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”
  • 对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

如何实现一个堆

要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。

我们知道，完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省内存的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯的通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点

从上图可以看到，数组中下标为i的节点的左子节点就是下标为$i\ast 2$的节点，右子节点就是下标为$i\ast 2+1$的节点，父节点就是下标为$\frac{i}{2}$的节点。

知道了如何存储一个堆，那我们再来看看，堆上的操作有哪些呢？下面以大根堆为例

往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。

如果我们把新插入的元素放在堆的最后，如下图，就不符合堆的特性了。

这个时候，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性。这个过程叫做堆化（heapify）。

堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。先来看下从小往上。

堆化非常简单，就是顺序节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

如下图：我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一种重复这个过程，直到父子节点之间满足大小关系

public class Heap{
       private int [] a; //数组，从下标1开始存储数据    private int n; //堆可以存储的最大数据个数    private int count; //堆中已经存储的数据个数    public Heap(int capacity){
           a = new int[capacity + 1];        n = capacity;        count = 0;    }   public void insert(int data){
           if(count >= n){
               return;        }        ++count;        a[count] = data;        int i = count;        while (i /2 >= 0 && a[i] > a[i/2]){
     // 自下往上堆化            swap(a, i, i/2); // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素            i = i / 2;        }    }	private static  void swap(int []a, int i, int j){
   	        int tmp = a[i];	        a[i] = a[j];	        a[j] = tmp;	}}

删除堆顶元素

从堆的定义的第二条中，任何节点的值都>=（或者$<=$）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放在堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们在迭代的删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

如下图，不能直接从上面删除，否则会出现空洞

我们稍微改变一下思路，如下图。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法

我们我们移除的是数组的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组的”空洞“，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

public  void removeMax(){
           if(count == 0){
               return;  //堆中没有数据        }        a[1] = a[count];        --count;        heapify(a, count, 1);    }        private static  void heapify(int []a, int n, int i){
     //自上往下堆化        while (true){
               int maxPox = i;            if(i * 2 <= n && a[maxPox] < a[i*2]){
                   maxPox = i * 2;            }            if(i * 2 + 1 <= n && a[maxPox] < a[i * 2 + 1]){
                   maxPox = i * 2 + 1;            }            if(maxPox == i){
                   break;            }            swap(a, i, maxPox);            i = maxPox;        }    }

我们直到，一个包含$n$个节点的完全二叉树，树的高度不会超过$lo{g}_{2}n$。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是$O(logn)$。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是$O(logn)$

应用

如何基于堆实现排序

借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是$O(logn)$ ，并且它还是原地排序算法。如此优秀，它是怎么做到的呢？

我们可以把堆排序的过程大致分为两个步骤，建堆和排序

建堆

我们首先将数组原地建立成一个堆。所谓”原地“就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路

（1）第一种就是借助上面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含n个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为1的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从2到n的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含n个数据的数组，组织成了堆

（2）第二种实现思路跟第一种相反。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入到堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数据，并且每个数据都是从上往下堆化。

举个例子，如下，因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。

private  void buildHeap(int []a, int n){
           for (int i = n/2; i >= 1; --i){
               heapify(a, n, i);        }    }

从上面可以看出，我们堆下标从$\frac{n}{2}$开始到1的数据进行堆化，下标是$\frac{n}{2}+1$到$n$的节点是叶子节点，我们不需要堆化。实际上，对于完全二叉树来说，下标从$\frac{n}{2}+1$到$n$的节点都是叶子节点。(堆是完全二叉树，求最后的非叶子节点即是求最大的叶子节点的父节点。最大的叶子节点下标为n，他的父节点为n/2，这是最后一个非叶子节点，所以n/2+1到n都是叶子节点。)

现在，我们来看，建堆操作的时间复杂度是多少呢？

每个节点堆化的时间复杂度是$O(logn)$，那$\frac{n}{2}+1$g个节点堆化的总时间复杂度是不是就是$O(nlogn)$。这个答案虽然也没有错，但是还是不够精确。实际上，堆排序建堆过程的时间复杂度是O(n)，推导过程如下：

• 因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度k成正比

• 每一层的节点个数和对应的高度如下图，我们只需要将每个节点的高度求和，得出的就是建堆的时间复杂度。

  

• 我们将每个非叶子节点的高度求和，就是下面这个公式：

  

• 这个公式的求解稍微有点技巧，不过我们高中应该都学过：把公式左右都乘以2，就得到另一个公式$S2$。我们将 $S2$错位对齐，并且用 $S2$减去 $S1$，可以得到$S$

  

• S的中间部分是一个等比数列，所以最后可以用等比数列的求和公式来计算

  

• 因为$h=lo{g}_{2}n$，带入公式S，就可以得到$S=O(n)$

所以，建堆的复杂度就是$S=O(n)$

排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为n的位置。

这个过程有点类似“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为n的元素放到堆顶，让后在通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶元素，放到下标是n-1的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下下标为1的一个元素，排序工作就完成了

// n 表示数据的个数，数组 a 中的数据从下标 1 到 n 的位置。    private static void sort(int []a, int n){
           buildHeap(a, n);        int k = n;        while (k > 1){
               swap(a, 1, k);            k--;            heapify(a, k, 1);        }    }

现在，我们再来分析一下堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性。

• 整个堆排序的过程中，都需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法，堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是O(n)，排序过程的时间复杂度是O(nlogn)，所以堆排序整体的时间复杂度是O(nlogn)
• 堆排序不是稳定的算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变相同数据的原始相对顺序。

注意，上面都是假设堆中的数据是从数组下标为1的位置开始存储。如果从0开始存储，实际上处理思路是一样的，不一样的是计算父子节点的下标公式。

$$如果节点的下标是i，那左子节点的下标就是2\ast i+1，右子节点就是2\ast i+2，父节点下标\frac{i-1}{2}$$

优先级队列

优先级队列，顾名思义，它首先应该是一个队列。队列最大的特性就是先进先出。不过，在优先级队列中，数据的出对顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。

如何实现一个优先级队列呢？方法有很大，但是用堆来实现是最直接最高效的。这是因为，堆和优先级队列非常相似。一个堆就可以看出是一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。

优先级队列应用非常广泛，比如赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。举两个例子

合并有序小文件

假设我们有100个小文件，每个文件的大小是100MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这100个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列：

• 整体思路有点像归并排序中的合并函数。我们从这100个文件中，各取第一个字符串，放入数组中，然后比较大小，把最小的哪个字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除。
• 假设，这个最小字符串来自于13.txt这个小文件，我们就再从这个小文件取下一个字符串，并且放到数组中，重新比较大小，并且选择最小的放入合并后的大文件，并且将它从数组中删除。依次类推，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止。

这里我们用数组这种数据结构，来存储从小文件中取出来的字符串。每次从数组中取最小字符串，都需要循环遍历整个数组，显然，这不是很高效。有没有更加高效的方法呢？

• 这里可以用优先级队列，也就是堆。
• 我们将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。 我们将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除
• 然后再从小文件中取出下一个字符串，放入堆中。
• 循环这个过程，就可以将100个小文件中的数据依次放入到大文件中

，删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度都是 O(logn)，n 表示堆中的数据个数，这里就是 100。

高性能定时器

假设我们有一个定时器，定时器中维护了很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间(比如1s)，就扫描一遍任务，看是否有任务到达设定的时间点。如果到达了，就拿出来执行。

但是，这样每过1秒就扫描一遍任务列表的做法比较低效，主要原因有两点：

• 第一，任务的约定执行时间离当前时间可能还有很久，这样前面很多次扫描其实都是徒劳的
• 第二，每次都要扫描整个任务列表，如果任务列表很大的化，势必会比较耗时

针对这些问题，我们可以用优先级队列来解决

• 我们按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部(也就是小顶堆的堆顶)存储的是最先执行的任务
• 这样，定时器就不需要每隔1s就扫描一遍任务列表了。它拿队首任务的执行时间点，与当前时间点相减，得到一个时间间隔T
• 这个时间间隔T就是，从当前时间开始，需要等待多久，才会有第一个任务需要被执行。这样，定时器就可以设定在T秒之后，再来执行任务。从当前时间点到(T-1)秒这段时间里，定时器都不需要做任何事情
• 当T秒时间过去之后，定时器取优先级队列中队首的任务执行。然后再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值，把这个值作为定时器执行下一个任务需要等待的时间

利用堆求Top K

这种求 Top K 的问题可以抽象成两类：

• 一类是针对静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变
• 一类是针对动态数据集合，也就是说数据集合事先不确定，有数据动态的加入到集合中

针对静态数据，如何再一个包含n个数据的数组中，查找前k大的数据呢？

• 我们可以维护一个大小为K的小顶堆，顺序遍历数组，从数组总取数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到集合中
• 如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组
• 这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前K大数据了

遍历数组需要O(n)的时间复杂度，一次堆化操作需要O(logK)的时间复杂度，所以最坏情况下，n个元素都入堆一次，所以时间复杂度是$O(nlogK)$。

针对动态数据求的TopK就是实时Top K。怎么理解呢？举个例子，一个数据集合中有两个操作，一个是添加操作，一个是询问当前的前K大数据

• 如果每次询问前K大数据，我们都基于当前的数据重新计算的话，那时间复杂度就是$O(nlogK)$，n表示当前数据大小
• 实际上，我们可以一直都维护一个K大小的小顶堆，当有数据添加时，我们就拿它和堆顶元素对比。
  • 如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并将这个元素插入到堆中
  • 如果比堆顶元素小，则不做处理
• 这样，无论任何时候需要查询当前的前K大元素，我们都可以立刻返回给它

利用堆求中位数

中位数，顾名思义，就是处在中间位置的那个数。

• 如果数据的个数是奇数的话，把数据从小到大排列，那第$\frac{n}{2}+1$个数据就是中位数
• 如果数据的个数是偶数的话，那处于中间位置的数据有两个，第$\frac{n}{2}$和第$\frac{n}{2}+1$个数据，这个时候，我们可以随意取一个作为中位数，比如取两个数中靠前的那个，就是第$\frac{n}{2}$个数据。

对于一组静态数据，中位数是固定的，我们可以先排序，第$\frac{n}{2}$个数据就是中位数。每次询问中位数的时候，我们直接返回这个固定的值就号了。所以，尽管排序的代价会比较大，但是边际成本会很小。但是，如果我们面对的是动态数据集合，中位数在不停的变动，如果在利用先排序的方法，每次询问中位数的时候，都要先进行排序，那效率就不高了。

这时我们可以借助堆这种数据结构，不用排序就可以非常高效的求中位数操作：

• 我们需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆存储后半部分数据，而且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据
• 也就是说，如果有n个数据，n是偶数，我们从小到大排序，那前$\frac{n}{2}$个数据存储在大顶堆中，后$\frac{n}{2}$个数据存储在小顶堆中。 这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。
• 如果n是奇数，大顶堆就存储$\frac{n}{2}+1$个数据，小顶堆就存储$\frac{n}{2}$个数据。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。

数据是动态变化的，当新添加一个数据的时候，我们如何调整两个堆，让大顶堆中的堆顶元素继续是中位数呢？

• 如果新加入的数据<=大顶堆中的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆
• 如果新加入的数据>=小顶堆中的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到小顶堆（？？？？）

这时就有可能出现，两个堆中的数据个数不符合前面约定： 如果n是偶数，两个堆中数据个数都是$\frac{n}{2}$ ；如果n是奇数，大顶堆有$\frac{n}{2}+1$个数据，小顶堆有$\frac{n}{2}$个数据

这个时候，我们可以从一个堆中不停的将堆顶元素移动到另一个堆，通过这样的调整，来让两个堆中的数据满足上面的约定。

于是，我们就可以利用两个堆，一个大顶堆、一个小顶堆，实现在动态数据集合中求中位数的操作。插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 O(logn)，但是求中位数我们只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 O(1)。

利用堆求99% 响应时间

实际上，利用两个堆不仅可以快速求出中位数，还可以快速求其他百分位的数据。举个例子，应用中常见的需求是”如何快速求接口的99%响应时间“。

那什么是”99%响应时间“

• 中位数的概念就是将数据从小到大排列，处于中间位置，就叫做中位数，这个数据会大于等于前面50%的数据。 99百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从小到大排列，这个99百分位数就是大于前面99%数据的那个数据。
• 举个例子：假设有 100 个数据，分别是 1，2，3，……，100，那 99 百分位数就是 99，因为小于等于 99 的数占总个数的 99%。
  
• 弄懂了这个概念，我们再来看 99% 响应时间。如果有 100 个接口访问请求，每个接口请求的响应时间都不同，比如 55 毫秒、100 毫秒、23 毫秒等，我们把这 100 个接口的响应时间按照从小到大排列，排在第 99 的那个数据就是 99% 响应时间，也叫 99 百分位响应时间。

总结：如果有 n 个数据，将数据从小到大排列之后，99 百分位数大约就是第n99% 个数据，同类，80 百分位数大约就是第 n80% 个数据。

如何求99%的响应时间。

+我们维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。假设当前总数据的个数是 n，大顶堆中保存n99% 个数据，小顶堆中保存 n1% 个数据。大顶堆堆顶的数据就是我们要找的 99% 响应时间。

• 每次插入一个数据的时候，我们要判断这个数据跟大顶堆和小顶堆堆顶数据的大小关系，然后决定插入到哪个堆中。如果这个新插入的数据比大顶堆的堆顶数据小，那就插入大顶堆；如果这个新插入的数据比小顶堆的堆顶数据大，那就插入小顶堆。
• 为了保持大顶堆中的数据占 99%，小顶堆中的数据占 1%，在每次新插入数据之后，我们都要重新计算，这个时候大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99:1 这个比例。如果不符合，我们就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。

通过这样的方法，每次插入数据，可能会涉及几个数据的堆化操作，所以时间复杂度是O(logn)。每次求 99% 响应时间的时候，直接返回大顶堆中的堆顶数据即可，时间复杂度是 O(1)。

为什么说堆排序没有快速排序快？

快速排序，平均情况下，它的时间复杂度也为$O(nlogn)$。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是 ，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是在实际的软件开发中，快速排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？

原因如下：

（1）堆排序数据访问的方式没有快速排序友好

对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而堆排序来说，数据是跳着访问的。比如，堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下图，对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是1、2、4、8的元素，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，所以，这样对CPU缓存不友好。

（2）对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换多于快速排序

排序中有两个概念，有序度和逆序度。对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程就是由两个基本的操作组成的，比较和交换（或移动）。快速排序数据交换的次数不会比逆序度多。

但是堆排序的第一步就是建堆，建堆的过程会打乱原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。

小结

堆是一种完全二叉树。它最大的特性是：每个节点的值都大于等于(或小于等于)其子树节点的值。因此，堆被分成了两类，大顶堆和小顶堆。

堆中比较重要的两个操作时插入一个数据和删除堆顶元素。这两个操作都要用到堆化。插入一个数据的时候，我们把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；删除堆顶元素的时候，我们把数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作时间复杂度但是$O(logn)$

堆的一个比较经典的应用时堆排序。堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从$\frac{n}{2}$到1的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成这种数据结果。接下来，我们迭代的将堆顶元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后在堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就有序排列了。

优先级队列是一种特殊的队列，优先级高的数据先出队，而不再像普通的队列那样，先进先出。实际上，堆就可以看作优先级队列，只是称谓不一样罢了。求 Top K 问题又可以分为针对静态数据和针对动态数据，只需要利用一个堆，就可以做到非常高效率的查询 Top K的数据。求中位数实际上还有很多变形，比如求 99 百分位数据、90 百分位数据等，处理的思路都是一样的，即利用两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，随着数据的动态添加，动态调整两个堆中的数据，最后大顶堆的堆顶元素就是要求的数据。

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