发布日期：2022-03-08 21:50:35 浏览次数：3 分类：技术文章

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1. 设G是群，H是G的子群，任取 $g_1,g_2∈G$ ，则 $g_1H=g_2H$ 当且仅当 $g_1^{-1}g_2∈H$

充分性：

\quad

由于

g_1H=g_2H

，故存在

h_1,h_2∈H

使得

g_1h_1=g_2h_2

\quad

由消去律可得

g_1^{-1}g_1h_1h_2^{-1}=g_1^{-1} g_2h_2h_2^{-1}

，即

h_1h_2^{-1}=g_1^{-1} g_2∈H

必要性：

\quad

因为

g_1^{-1}g_2∈H

，由群的封闭性可得

g_1^{-1}∈H，g_2∈H

，

\quad

所以

g_1^{-1}

的逆元

g_1∈H

，由此可得

g_1H=g_2H

2. 如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg

如果g∈H，则gH=Hg=H

如果g∉H，则gH，Hg≠H，由于[G:H]=2，故gH=Hg=G-H

3.如果群H是群G的真子群，即存在g∈G但是g∉H。请证明|H|≤|G|/2。

因为存在g∈G但是g∉H，故H在G上不同的左陪集个数至少为2，即[G:H]≥2

所以|H|≤|G|/2。

4. 设G是阶为pq的群，其中p和q是素数，请证明G的任意真子群是循环群

如果H是G的真子群，则任意h∈H，ord(h) | pq，所以h的阶为p或q，则H的阶为p或q，由推论8.2可得H是循环群

5. 使用群论的方法重新证明费尔马小定理和欧拉定理。

费尔马小定理：

设群G是整数模p乘法下的循环群，p为素数，a是整数且p不整除a，则 1≤a (mod p)＜p，ord(a)=

\phi(p)

=p-1，所以

a^{ord(a)}\equiv1

(mod p)，即

a^{p-1}\equiv1

(mod p)

欧拉定理：

n是正合数，则

Z_n^*

的阶为

\phi(n)

，a是正整数且gcd(a,n)=1，则a∈

Z_n^*

，所以ord(a) |

\phi(n)

，

\phi(n)

=k ord(a)

∴

a^{ord(a)}\equiv1

(mod n)

∴

a^{k*ord(a)}\equiv1

(mod n)

∴

a^{\phi(n)}\equiv1

(mod n)

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1. 设G是群，H是G的子群，任取 $g_1,g_2∈G$ ，则 $g_1H=g_2H$ 当且仅当 $g_1^{-1}g_2∈H$

2. 如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg

3.如果群H是群G的真子群，即存在g∈G但是g∉H。请证明|H|≤|G|/2。

4. 设G是阶为pq的群，其中p和q是素数，请证明G的任意真子群是循环群

5. 使用群论的方法重新证明费尔马小定理和欧拉定理。

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2. 如果G是群，H是群G的子群，且[G:H]=2,请证明对任意的g∈G，gH=Hg

3.如果群H是群G的真子群，即存在g∈G但是g∉H。请证明|H|≤|G|/2。

4. 设G是阶为pq的群，其中p和q是素数，请证明G的任意真子群是循环群

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