CINTA作业四：群、子群

发布日期：2022-03-08 21:50:36 浏览次数：3 分类：技术文章

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一、证明命题6.6

设G为群，且a,b,c∈G。如果ba=ca，则b=c；并且，如果 ab=ac，b=c。

证明：
①∵G为群，且a，b，c∈G
$\quad$ ∵ $b a = c a$
$\quad$ ∴ $b(aa^{-1}) =c(aa^{-1})$ $\quad$ (结合律)
$\quad$ ∴ $b e = c e$
$\quad$ ∴ $b = c$
②∵G为群，且a，b，c∈G
$\quad$ ∵ $a b = a c$
$\quad$ ∴ $a^{-1}a)b =(a^{-1})ac$ $\quad$ (结合律)
$\quad$ ∴ $e b = e c$
$\quad$ ∴ $b = c$

二、证明命题6.7

设G是群， $\forall$ a,b∈G，以下性质成立：

①

\forall

m，n∈Z,

g^mg^n=g^{m+n}

②

\forall

m，n∈Z，

g^m)^n=g^{mn}

③

\forall

n∈Z，

gh)^n=(h^{-1}g^{-1})^{-n}

;如果G是阿贝尔群，则

gh)^n=g^nh^n

证明：
① ∵ $g^m=\overbrace{gg……g}^{m}$
$\quad$ $\quad$ $g^n=\overbrace{gg……g}^{n}$
$\quad$ ∴ $g^mg^n=\overbrace{gg……g}^{m+n}$
$\quad$ ∴ $g^mg^n=g^{m+n}$

② ∵ $g^m=\overbrace{gg……g}^{m}$
$\quad$ $\quad$ $(g^m)^n=\overbrace{g^mg^m……g^m}^{n}=\overbrace{gg……g}^{mn}$
$\quad$ ∴ $g^m)^n=g^{mn}$

③ ∵由命题6.4： $\forall$ g∈G， $g^{-1})^{-1}=g$ 可得 $gh)^n=(((gh)^{-1})^{-1})^n$
$\quad$ ∵由命题6.3： $\forall$ a,b∈G， $ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ，和②得 $gh)^n=(((gh)^{-1})^{-1})^n=((h^{-1}g^{-1})^{-1})^n=(h^{-1}g^{-1})^{-n}$
若G是阿贝尔群，则G满足交换律
$(gh)^n=\overbrace{gh……gh}^{n}$
$\quad$ $\quad$ $=\overbrace{gg……g}^{n} \overbrace{hh……h}^{n}$
$\quad$ $\quad$ $g^nh^n$

三、证明任意偶阶群都含有二阶元素

群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2 的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数。因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。

四、证明命题6.9

群G的非空子集H是G的子群，当且仅当对任意a,b ∈H， $ab^{-1}$ ∈H

充分性：
$\quad$ G的非空子集H是G的子群, 因为a,b∈H,所以b⁻¹∈H,由封闭性可得ab^-1∈H
必要性：
(1)存在单位元：
$\quad$ ∵ $\forall$ $a, b∈H ，a b^{-1}∈ H$
$\quad$ ∴当 $a = b$ 时， $aa^{-1}∈H$
$\quad$ ∴ $e \in H$
$\quad$ ∴H存在单位元
(2) 存在逆元：
$\quad$ ∵ $\forall$ $a, b∈H ，a b^{-1}∈ H$
$\quad$ ∵ $e \in H$ ，任取 $a \in H$
$\quad$ ∴ $ea^{-1}∈H$
$\quad$ ∴ $a^{-1}∈H$
$\quad$ 对 $\forall a∈H，$ H中都存在相应的逆元 $a^{-1}$
(3) 封闭性：
$\quad$ ∵ $\forall$ $a, b \in H$
$\quad$ ∴ $b^{-1}∈H$
$\quad$ ∴ $a(b^{-1})^{-1}∈H$
$\quad$ ∴ $a b \in H$
$\quad$ 故H满足封闭性
(4) 结合律：
$\quad$ ∵ $\forall a,b,c∈H，H是G的子集$
$\quad$ ∴ $a, b, c \in G$
$\quad$ ∵G是群
$\quad$ ∴a,b,c满足结合律即(ab)c=a(bc)

五、证明 $g_0g_1…g_n$ 的逆元是 $g_n^{-1}$ … $g_1^{-1}$ $g_0^{-1}$

因为 $\forall n ∈ H , i ∈ [ 0 , n ] , g_i ∈ G$
所以 $g_i^{-1}∈G,g_ig_i^{-1}=e$
计算 $g_0g_1…g_n)(g_n^{-1}…g_1^{-1}g_0^{-1})=g_0g_1…(g_ng_n^{-1})…g_1^{-1}g_0^{-1}=e∈G$
所以由封闭性可得 $g_0g_1…g_n，g_n^{-1}…g_1^{-1}g_0^{-1}∈H$
所以 $g_0g_1…g_n$ 的逆元是 $g_n^{-1}$ … $g_1^{-1}$ $g_0^{-1}$

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一、证明命题6.6

二、证明命题6.7

三、证明任意偶阶群都含有二阶元素

四、证明命题6.9

五、证明 $g_0g_1…g_n$ 的逆元是 $g_n^{-1}$ … $g_1^{-1}$ $g_0^{-1}$

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二、证明命题6.7

三、证明任意偶阶群都含有二阶元素

四、证明命题6.9

五、证明 g 0 g 1 … g n g_0g_1…g_n g0​g1​…gn​的逆元是 g n − 1 g_n^{-1} gn−1​… g 1 − 1 g_1^{-1} g1−1​ g 0 − 1 g_0^{-1} g0−1​

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