本文共 5978 字，大约阅读时间需要 19 分钟。

线性代数-矩阵

@(线性代数)

---

永远年轻，永远较劲，联想想象

---

矩阵及其运算

内容要点

1. 矩阵
2. 矩阵的运算
3. 逆矩阵
4. 矩阵分块法

矩阵

定义

由m x n个数$a_{ij}(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)$排成的m行n列的数表

⎡⎣⎢⎢⎢a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn⎤⎦⎥⎥⎥→f⎡⎣⎢⎢⎢a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn⎤⎦⎥⎥⎥(1) (1) [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ] → f [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ]

$$\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right] \xrightarrow{f} \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right] \tag{1}$$

性质

性质：

- 元素 OR 元

- 矩阵的表示法：$(a_{i,j}) \ or \ (a_{i,j})_{m x n} \ OR \ A_{mxn}$

- 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵；

- 行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶方阵A也记做$A_n$。

- 行矩阵、行向量：

A=a1a2...an A = a 1 a 2 . . . a n

$$A = {a_1 a_2 ... a_n}$$

- 列矩阵，列向量：

a11a21...am1(1) (1) a 11 a 21 . . . a m 1

$$\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21}\\ ... \\ a_{m1}\\ \end{matrix} \tag{1}$$

- 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等的时候，叫做同型矩阵；如果两个矩阵是同型矩阵，并且这两个矩阵对应的元素相等，那么这两个矩阵相等；

- n阶单位矩阵，单位阵。特点：从左上角到右下角的直线（主对角线）上的元素都是1，其他元素都是0。

aij={

10当i = j当i != j,(i,j=1,2,...,n)(2) (2) a i j = { 1 当i = j 0 当i != j , ( i , j = 1 , 2 , . . . , n )

$$\begin{equation} a_{ij} = \begin {cases} 1 & \mbox{当i = j}\\0 & \mbox{当i != j} \\\end{cases} \end{equation}, (i, j = 1, 2, ..., n) \tag{2}$$

- 对角矩阵、对角阵：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素非0， 这种方阵叫做对角矩阵，简称对角阵；

- 对称矩阵：他的元素以对角线为对称轴对应相等；

A=diag(λ1,λ2,...,λn)(3) (3) A = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n )

$$A = diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n) \tag{3}$$

- 由于矩阵和线性变换存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

矩阵与行列式运算法则

两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积

矩阵的运算

一 矩阵的加法

1. 前提条件：A和B是同型矩阵；
2. 满足交换律和结合律；

二 数与矩阵相乘

1. 结合律
2. 分配率

三 矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换：

$$\begin{equation} \begin {cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ \end{cases} \end{equation} \tag{4}$$

$$\begin{equation} \begin {cases} x_1 = b_{11}t_1 + b_{12}t_2 \\x_2 = b_{21}t_1 + b_{22}t_2 \\ x_2 = b_{31}t_1 + b_{32}t_2 \\\end{cases} \end{equation} \tag{5}$$

$$\begin{equation} \begin {cases} y_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}xb_{21} + a_{13}b_{31})t1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}xb_{22} + a_{13}b_{32})t2\\y_2 = (a_{21}b_{11} + a_{22}xb_{21} + a_{23}b_{31})t1 + (a_{21}b_{12} + a_{22}xb_{22} + a_{23}b_{32})t2\\\end{cases} \end{equation} \tag{6}$$

定义：设 $A = (a_{ij})$是一个m x s的矩阵， $B = (b_{ij})$是一个s x n的矩阵，那么矩阵A和矩阵B相乘得到一个m x n的矩阵$C = (c_{ij})$，其中

cij=ai1∗b1j+ai2∗b2j+...+ais∗bsj=∑k=1saikbkj c i j = a i 1 ∗ b 1 j + a i 2 ∗ b 2 j + . . . + a i s ∗ b s j = ∑ k = 1 s a i k b k j

$$c_{ij} = a_{i1} * b{1j} + a_{i2} * b_{2j} + ... + a_{is} * b_{sj} = \sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}$$

(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) ( i = 1 , 2 , . . . , m ; j = 1 , 2 , . . . , n )

$$(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)$$

• 乘法不支持交换律；
• 支持结合律与分配律；
• EA = AE = A，可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数字乘法里面的1；
• 矩阵的幂：只有A是方阵，矩阵的幂才有意义；

四 矩阵的转置

1. 定义：将矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记做$A^T$，叫做A的转置；
   A=132−101(7) (7) A = 1 2 0 3 − 1 1
   $$A = \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \tag{7}$$

$$A^T = \begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \tag{8}$$

1. 运算规律
   • $(A^T)^T = A$
   • $(A + B)^T = A^T + B^T$
   • $(\lambda A)^T = \lambda^TA^T$
   • $(AB)^T = B^TA^T$

3.列矩阵的定义

$$列矩阵X = (x_1, x_2, ... , x_m)^T$$

五方阵的行列式

定义：由n阶方阵的元素构成的行列式（相对位置不变），称为方阵A的行列式，记做|A|或detA。

PS：方阵和行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n * n个数按照一定的方式形成的排列，而行列式是则是这些数按照一定的运算法则所确定的一个数。

性质，假设A、B是n阶方阵

1. $|A| = |A^T|$

2. $|\lambda A| = \lambda^n |A|$

3. |AB| = |A| |B| and |AB| = |BA|

伴随矩阵

定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式$A_ij$所构成的矩阵如下（这个讲的不透彻，应该是转置）：

A11A12...A1nA21A22...A22............An1An2...Ann(1) (1) A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 . . . . . . . . . . . . A 1 n A 22 . . . A n n

$$\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\ ... & ... & ... & ...\\ A_{1n} &A_{22} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix} \tag{1}$$

性质

1. $A A^* = A^* A = |A| E$ 证明：考虑行列式的性质，之后运用数与矩阵的乘法运算。线性代数41页例9；

共轭矩阵

当 $A = (a_{ij})$为复矩阵时，用$\overline {a_{ij}}$表示$a_{ij}$的共轭复数，记

A¯¯¯¯=(aij¯¯¯¯¯¯) A ¯ = ( a i j ¯ )

$$\overline A = (\overline {a_{ij}})$$

共轭矩阵满足下面运算规律

1.

(A+B)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯¯+B¯¯¯¯ ( A + B ) ¯ = A ¯ + B ¯

$\overline {(A + B)} = \overline A + \overline B$

2.

(λB)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=λ¯¯¯ B¯¯¯¯ ( λ B ) ¯ = λ ¯   B ¯

$\overline {(\lambda B)} = \overline \lambda \ \overline B$

3.

(AB)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯¯ B¯¯¯¯ ( A B ) ¯ = A ¯   B ¯

$\overline {(AB)} = \overline A \ \overline B$

逆矩阵（必须是方阵）

问题引入

假定一个线性变换

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪y1=a11x1+a12x2+...+a1nxny2=a21x1+a22x2+...+a2nxn......yn=an1x1+an2x2+...+annxn(220) (220) { y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n . . . . . . y n = a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n

$$\begin{equation} \begin {cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ ...... \\y_n = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n \\ \end{cases} \end{equation} \tag{220}$$

它的系数矩阵是A，若记

$$X = \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ ... \\ x_n\\ \end{matrix} \tag{221}$$

$$Y = \begin{matrix} y_1 \\ y_2\\ ... \\ y_n\\ \end{matrix} \tag{222}$$

则线性变换可以写做

$Y = A * X \tag{223}$，用A的伴随矩阵左乘该式，可得

$X = \dfrac {1} {|A|} \ A^* Y令，B=\dfrac {1} {|A|} \ A^*$ ，则

$X = B * Y \tag{224}$

上式表示一个从Y到X的线性变换，称为223式的逆变换。

定义

对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，是 $AB = BA = E$，则说矩阵是可逆的，并将矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，简称逆阵；如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵只有一个；A的逆矩阵记做$A^{-1}$

定理（可逆条件 逆阵求法）

定理1：方阵A可逆的充分必要条件，若矩阵A可逆，则$|A| \neq 0$ ；

定理2：方阵A的逆矩阵的计算方法，若$|A| \neq 0$，则矩阵A可逆，且$A^{-1} = \dfrac {1}{|A|} A^*$

奇异矩阵与非奇异矩阵（大名鼎鼎）

定义：当|A|=0的时候，也就是矩阵A的行列式的值等于0，那么这种矩阵叫做奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵；由上面的定理可知，A是可逆矩阵的充分必要条件是A是非奇异矩阵。

推论（用到行列式的知识）

若AB = E，则$B = A^{-1}$；证明过程需要用到两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积

运算规律（自逆与附逆）

1. 若A可逆，则$(A^{-1})^{-1} = A$，矩阵的逆的逆的自身；（迷途知返）
2. 若A可逆，则$(\lambda A)^{-1} = \dfrac {1}{\lambda}A^{-1}$，可以看成是数与矩阵的合逆分别逆；（数逆）
3. 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，并且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（附逆）
4. 若A可逆，则$A^{T}$亦可逆，则$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$（转置逆 or 逆转置）

矩阵分块法

定义

对于行数和列数较高的矩阵A，运算通常采用矩阵分块法，使大矩阵的运算转换成小矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条横线和若干条总线分成很多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵A的子块，以子块为元素的形式的矩阵称为分块矩阵。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22an2⋯⋯⋱anna1na2n⋮bnb1b2⋮⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n n b n ]

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{nn}&b_n\\ \end{array} \right]$$

⎡⎣⎢⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34⎤⎦⎥⎥(2.4.1) (2.4.1) [ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ]

$$\left[ \begin{array}{cc|cc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ \hline a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ \end{array} \right] \tag{2.4.1}$$

分记法可以表示为：

A=[A11A21A12A22](2.4.1) (2.4.1) A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ]

$$A = \left[ \begin{array}{cc} A_{11}&A_{12} \\ A_{21}&A_{22} \\ \end{array} \right] \tag{2.4.1}$$ 其中

A11=[a11a21a12a22](2.4.1) (2.4.1) A 11 = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ]

$$A_{11} = \left[ \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \\ \end{array} \right] \tag{2.4.1}$$

本章第二节证明的两个方阵的乘积的行列式等于分布两个方阵的行列式的积。也是用到了矩阵分块法。4个小矩阵拼成一个大矩阵，与本章的一个大矩阵分成多个小矩阵是一个思路。

运算法则

分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则一致，那么下面进行说明；

1. 加法：如果矩阵A与矩阵B是同型矩阵，并且按照相同的方法分块，那么直接加；

2. 数乘：用一个数乘以分块矩阵，与普通矩阵的方法相同；

3. 矩阵乘法：需要A的分块的列数等于B的分块的行数；

4. 矩阵的转置等于分块的转置；

5. 分块对角矩阵：如果A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都是零，并且子块也是方阵，那么称为“分块对角矩阵”：

- 行列式性质：分块对角矩阵的行列式具有下列性质 $|A| = |A_1| * |A-2| * ... |A_n|$

- 逆矩阵性质：

A−1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢A−11⋯ ⋯ ⋯⋯A−12⋯⋯⋯⋯⋯A−1s⎤⎦⎥⎥⎥⎥(1) (1) A − 1 = [ A 1 − 1 ⋯ ⋯ ⋯   A 2 − 1 ⋯ ⋯   ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ A s − 1 ]

$$\begin{equation}A^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1} & \cdots & \cdots \\\cdots\ & A_2^{-1} & \cdots \\\cdots\ & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & A_s^{-1}\\\end{bmatrix}\end{equation}$$

6. 矩阵A = 0的充分必要条件是

AT∗A=0 A T ∗ A = 0

$A^T * A = 0$

特殊的分块法

对矩阵分块时，有两种分法需要特别注意，按行分和按列分(m x n)；

按行分块：$\alpha_i^T = (a_{i1}, a_{i2}, ... ,a_{in})$，则矩阵可以表示为（m个行向量）

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢αT1αT2⋯αTm⎤⎦⎥⎥⎥⎥(2) (2) A = [ α 1 T α 2 T ⋯ α m T ]

$$\begin{equation}A=\begin{bmatrix}\alpha_1^T \\\alpha_2^T \\\cdots \\\alpha_m^T \\\end{bmatrix}\end{equation}$$

按列分块：（自行脑补）

注意：对于向量来说，默认都是列向量，所以需要表示行向量的话，要用到转置符号

转载地址：https://blog.csdn.net/qq_22054285/article/details/79224193 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！