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白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇

@(2018年例会)

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概述

前面讲述了线性回归，线性回归的模型 $y = w^T + b$。模型的预测值逼近真实标记y。那么可否令模型的预测值逼近真实标记y的衍生物呢。比如说模型的预测值逼近真实标记的对数函数。下面引入逻辑回归的知识。

转换函数

我们需要一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来，所以需要一个转换函数将线性模型的值与实际的预测值关联起来。
考虑二分类问题，其输出标记是y属于{0，1}，而线性模型产生的预测值是$z = w^T + b$是实值，那么我们需要将这个实值转化成0/1值，最理想的函数是单位阶跃函数。

单位阶跃函数

单位阶跃函数（unit-step function），如下图，如果预测值大于零则判断为正例；如果预测值小于零则判断为反例；为零的则任意判断。如下图所示。

$$\begin{equation} y = \begin{cases} 0 & \mbox{if z < 0}\\ 0.5 & \mbox{if z = 0} \\ 1 & \mbox{if z > 0} \end{cases} \end{equation}$$

sigmoid function

从图中可以看出，单位阶跃函数不连续因此不适合用来计算。这里我们引入sigmoid函数，进行计算。

$$y = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$$

将z值转化为一个接近0或1的y值，并且其输出值在z=0的附近变化很陡。那么我们现在的模型变化成

$$y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$$

几率与对数几率

几率：如果将y作为正例的可能性，1-y作为负例的可能性，那么两者的比值$\dfrac{y}{1 - y}$称为几率，反应了x作为正例的相对可能性。则根据sigmoid函数可得。

$$ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$$

$ln\dfrac{y}{1 - y}$称为对数几率；

由此可以看出，$y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$实际上是用线性模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归”

下面介绍损失函数以及计算方法。

损失函数

因为：$ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$。所以

$$p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}}$$

$$p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}$$

我们采用极大似然估计法进行求解，由于是二分类问题，所以符合概率里面的0-1分布，所以似然函数为
令$p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}} = f(x)$，$p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}=1-f(x)$

$$L(w)=\prod_{i=1}^{n}[f(x_i)]^{y_i}[1 - f(x_i)]^{1- y_i}$$

对数似然函数为：

$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_ilnf(x_i) + (1 -y_i)ln(1 - f(x_i))]$$
$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_iln\dfrac{f(x_i)}{1 - f(x_i)} + ln(1-f(x_i))]$$
$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

求这个函数的最大值，加个负号，求最小值。运用前面章节介绍的梯度下降和牛顿法都可以求解，这里不再赘述。

代码实战

这里讲述通过梯度上升法进行求解，首先，我们需要界定、分析下这个问题，那么我们需要什么样的信息呢？

1. 输入信息的变量
   
   • 样本：包括特征与分类标记、正例与负例
   • 回归系数的初始化；
   • 步长的计算；
   • 损失函数的已经确定；
   • 损失函数的梯度的计算；
   • 通过损失函数的梯度和步长确实每次迭代；
   • 迭代的停止条件；

2. 输入数据（确定上面的变量）

   • 样本信息：包括特征、分类标记（从机器学习实战中提取，后续将贴出；
   • 回归函数的系数都初始化为1.0；
   • 为简单起见，设置步长alpha = 0.001；
   • 损失函数，上面已经介绍：

$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

• 损失函数的梯度：
  $$[\frac {\partial f^2} {\partial x_i \partial y_j}]_{nxn}$$
  $$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

$$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[y_ix_i - \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}}x_i] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}})]$$

$$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{1}{1 + e^{(-wx_i)}})]$$

• 迭代的停止条件：maxCycles = 500，迭代500次。

  1. 代码

def loadDataSet():
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMatdef sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX))def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = mat(dataMatIn)
 #convert to NumPy matrix
labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.001
maxCycles = 500
weights = ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
  #heavy on matrix operations
h = sigmoid(dataMatrix*weights)
 #matrix mult
error = (labelMat - h)
  #vector subtraction
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error # 这里就是用梯度迭代修改参数的值
return weights

1. 样本数据

-0.017612   14.053064   0-1.395634   4.662541
1-0.752157   6.538620
0-1.322371   7.152853
00.423363
11.054677   00.406704
7.067335
10.667394
12.741452   0-2.460150   6.866805
10.569411
9.548755
0-0.026632   10.427743   00.850433
6.920334
11.347183
13.175500   01.176813
3.167020
1-1.781871   9.097953
0-0.566606   5.749003
10.931635
1.589505
1-0.024205   6.151823
1-0.036453   2.690988
1-0.196949   0.444165
11.014459
5.754399
11.985298
3.230619
1-1.693453   -0.557540   1-0.576525   11.778922   0-0.346811   -1.678730   1-2.124484   2.672471
11.217916
9.597015
0-0.733928   9.098687
0-3.642001   -1.618087   10.315985
3.523953
11.416614
9.619232
0-0.386323   3.989286
10.556921
8.294984
11.224863
11.587360   0-1.347803   -2.406051   11.196604
4.951851
10.275221
9.543647
00.470575
9.332488
0-1.889567   9.542662
0-1.527893   12.150579   0-1.185247   11.309318   0-0.445678   3.297303
11.042222
6.105155
1-0.618787   10.320986   01.152083
0.548467
10.828534
2.676045
1-1.237728   10.549033   0-0.683565   -2.166125   10.229456
5.921938
1-0.959885   11.555336   00.492911
10.993324   00.184992
8.721488
0-0.355715   10.325976   0-0.397822   8.058397
00.824839
13.730343   01.507278
5.027866
10.099671
6.835839
1-0.344008   10.717485   01.785928
7.718645
1-0.918801   11.560217   0-0.364009   4.747300
1-0.841722   4.119083
10.490426
1.960539
1-0.007194   9.075792
00.356107
12.447863   00.342578
12.281162   0-0.810823   -1.466018   12.530777
6.476801
11.296683
11.607559   00.475487
12.040035   0-0.783277   11.009725   00.074798
11.023650   0-1.337472   0.468339
1-0.102781   13.763651   0-0.147324   2.874846
10.518389
9.887035
01.015399
7.571882
0-1.658086   -0.027255   11.319944
2.171228
12.056216
5.019981
1-0.851633   4.375691
1-1.510047   6.061992
0-1.076637   -3.181888   11.821096
10.283990   03.010150
8.401766
1-1.099458   1.688274
1-0.834872   -1.733869   1-0.846637   3.849075
11.400102
12.628781   01.752842
5.468166
10.078557
0.059736
10.089392
-0.715300   11.825662
12.693808   00.197445
9.744638
00.126117
0.922311
1-0.679797   1.220530
10.677983
2.556666
10.761349
10.693862   0-2.168791   0.143632
11.388610
9.341997
00.317029
14.739025   0

1. 获得结果

>>> import logRegres>>> param_mat, label_mat = logRegres.loadDataSet()>>> >>> logRegres.gradAscent(param_mat, label_mat)matrix([[ 4.12414349],
[ 0.48007329],
[-0.6168482 ]])>>>

这里每次迭代采用的是全部的样本，计算量较大，可以修改为每次迭代选取随机的样本。

参考

• 机器学习实战

转载地址：https://blog.csdn.net/qq_22054285/article/details/79116567 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！