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白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇

@(2018年例会)

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概述

前面讲述了线性回归，线性回归的模型 $y = w^T + b$。模型的预测值逼近真实标记y。那么可否令模型的预测值逼近真实标记y的衍生物呢。比如说模型的预测值逼近真实标记的对数函数。下面引入逻辑回归的知识。

转换函数

我们需要一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来，所以需要一个转换函数将线性模型的值与实际的预测值关联起来。

考虑二分类问题，其输出标记是y属于{0，1}，而线性模型产生的预测值是$z = w^T + b$是实值，那么我们需要将这个实值转化成0/1值，最理想的函数是单位阶跃函数。

单位阶跃函数

单位阶跃函数（unit-step function），如下图，如果预测值大于零则判断为正例；如果预测值小于零则判断为反例；为零的则任意判断。如下图所示。

$$\begin{equation} y = \begin{cases} 0 & \mbox{if z < 0}\\ 0.5 & \mbox{if z = 0} \\ 1 & \mbox{if z > 0} \end{cases} \end{equation}$$

sigmoid function

从图中可以看出，单位阶跃函数不连续因此不适合用来计算。这里我们引入sigmoid函数，进行计算。

y=11+e−z

$$y = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$$

将z值转化为一个接近0或1的y值，并且其输出值在z=0的附近变化很陡。那么我们现在的模型变化成

$$y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$$

几率与对数几率

几率：如果将y作为正例的可能性，1-y作为负例的可能性，那么两者的比值$\dfrac{y}{1 - y}$称为几率，反应了x作为正例的相对可能性。则根据sigmoid函数可得。

$$ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$$

$ln\dfrac{y}{1 - y}$称为对数几率；

由此可以看出，$y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$实际上是用线性模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归”

下面介绍损失函数以及计算方法。

损失函数

因为：$ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$。所以

$$p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}}$$

$$p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}$$

我们采用极大似然估计法进行求解，由于是二分类问题，所以符合概率里面的0-1分布，所以似然函数为

令$p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}} = f(x)$，$p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}=1-f(x)$

$$L(w)=\prod_{i=1}^{n}[f(x_i)]^{y_i}[1 - f(x_i)]^{1- y_i}$$

对数似然函数为：

$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_ilnf(x_i) + (1 -y_i)ln(1 - f(x_i))]$$ $$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_iln\dfrac{f(x_i)}{1 - f(x_i)} + ln(1-f(x_i))]$$ $$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

求这个函数的最大值，加个负号，求最小值。运用前面章节介绍的梯度下降和牛顿法都可以求解，这里不再赘述。

代码实战

这里讲述通过梯度上升法进行求解，首先，我们需要界定、分析下这个问题，那么我们需要什么样的信息呢？

1. 输入信息的变量
   • 样本：包括特征与分类标记、正例与负例
   • 回归系数的初始化；
   • 步长的计算；
   • 损失函数的已经确定；
   • 损失函数的梯度的计算；
   • 通过损失函数的梯度和步长确实每次迭代；
   • 迭代的停止条件；

2. 输入数据（确定上面的变量）

   • 样本信息：包括特征、分类标记（从机器学习实战中提取，后续将贴出；
   • 回归函数的系数都初始化为1.0；
   • 为简单起见，设置步长alpha = 0.001；
   • 损失函数，上面已经介绍：

$$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

• 损失函数的梯度：
  [∂f2∂xi∂yj]nxn
  $$[\frac {\partial f^2} {\partial x_i \partial y_j}]_{nxn}$$
  l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yi(wxi)−ln(1+ewxi)]
  $$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$$

$$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[y_ix_i - \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}}x_i] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}})]$$

$$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{1}{1 + e^{(-wx_i)}})]$$

• 迭代的停止条件：maxCycles = 500，迭代500次。

  1. 代码

def loadDataSet():    dataMat = []; labelMat = []    fr = open('testSet.txt')    for line in fr.readlines():        lineArr = line.strip().split()        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])        labelMat.append(int(lineArr[2]))    return dataMat,labelMatdef sigmoid(inX):    return 1.0/(1+exp(-inX))def gradAscent(dataMatIn, classLabels):    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix    m,n = shape(dataMatrix)    alpha = 0.001    maxCycles = 500    weights = ones((n,1))    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult        error = (labelMat - h)              #vector subtraction        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error # 这里就是用梯度迭代修改参数的值    return weights

1. 样本数据

-0.017612   14.053064   0-1.395634   4.662541    1-0.752157   6.538620    0-1.322371   7.152853    00.423363    11.054677   00.406704    7.067335    10.667394    12.741452   0-2.460150   6.866805    10.569411    9.548755    0-0.026632   10.427743   00.850433    6.920334    11.347183    13.175500   01.176813    3.167020    1-1.781871   9.097953    0-0.566606   5.749003    10.931635    1.589505    1-0.024205   6.151823    1-0.036453   2.690988    1-0.196949   0.444165    11.014459    5.754399    11.985298    3.230619    1-1.693453   -0.557540   1-0.576525   11.778922   0-0.346811   -1.678730   1-2.124484   2.672471    11.217916    9.597015    0-0.733928   9.098687    0-3.642001   -1.618087   10.315985    3.523953    11.416614    9.619232    0-0.386323   3.989286    10.556921    8.294984    11.224863    11.587360   0-1.347803   -2.406051   11.196604    4.951851    10.275221    9.543647    00.470575    9.332488    0-1.889567   9.542662    0-1.527893   12.150579   0-1.185247   11.309318   0-0.445678   3.297303    11.042222    6.105155    1-0.618787   10.320986   01.152083    0.548467    10.828534    2.676045    1-1.237728   10.549033   0-0.683565   -2.166125   10.229456    5.921938    1-0.959885   11.555336   00.492911    10.993324   00.184992    8.721488    0-0.355715   10.325976   0-0.397822   8.058397    00.824839    13.730343   01.507278    5.027866    10.099671    6.835839    1-0.344008   10.717485   01.785928    7.718645    1-0.918801   11.560217   0-0.364009   4.747300    1-0.841722   4.119083    10.490426    1.960539    1-0.007194   9.075792    00.356107    12.447863   00.342578    12.281162   0-0.810823   -1.466018   12.530777    6.476801    11.296683    11.607559   00.475487    12.040035   0-0.783277   11.009725   00.074798    11.023650   0-1.337472   0.468339    1-0.102781   13.763651   0-0.147324   2.874846    10.518389    9.887035    01.015399    7.571882    0-1.658086   -0.027255   11.319944    2.171228    12.056216    5.019981    1-0.851633   4.375691    1-1.510047   6.061992    0-1.076637   -3.181888   11.821096    10.283990   03.010150    8.401766    1-1.099458   1.688274    1-0.834872   -1.733869   1-0.846637   3.849075    11.400102    12.628781   01.752842    5.468166    10.078557    0.059736    10.089392    -0.715300   11.825662    12.693808   00.197445    9.744638    00.126117    0.922311    1-0.679797   1.220530    10.677983    2.556666    10.761349    10.693862   0-2.168791   0.143632    11.388610    9.341997    00.317029    14.739025   0

1. 获得结果

>>> import logRegres>>> param_mat, label_mat = logRegres.loadDataSet()>>> >>> logRegres.gradAscent(param_mat, label_mat)matrix([[ 4.12414349],        [ 0.48007329],        [-0.6168482 ]])>>>

这里每次迭代采用的是全部的样本，计算量较大，可以修改为每次迭代选取随机的样本。

参考

• 机器学习实战

转载地址：https://blog.csdn.net/qq_22054285/article/details/79116567 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！