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疾病监测与贝叶斯

问题引入

举个例子，我们去医院检查某种疾病，一般都会让你做个检查，检查的结果，有可能是阳性，也有可能是阴性。通常呢，我们是不大希望是阳性的，这意味着我们患病的可能性非常大，一般人看到阳性后，都比较恐慌。

假如有一台机器，通过对患者血液的分析（检测结果阳性或者阴性），来判断一个人是否有艾滋病。如果一个人是艾滋病患者，那么检测后，结果显示为阳性的概率为99%。如果一个人不是艾滋病患者，那么检测后，结果显示为阳性的概率为1%（即该设备的可靠性是99%）。

那么问题来了，如果一个人经过检测后，检测结果是阳性。那么这个人是艾滋病患者的概率有多大呢？

首先，大家从直觉出发，可能认为既然这个设备的准确率是99%。那么这个人经过设备的检测是阳性，则他得病的概率应该是非常大。那么，我们来具体分析下这个问题

问题分析

处理任何问题，都是需要方法论的，我们不能总是靠灵感或者是感觉去分析问题，所以我们先对这个问题进行分解，那么首先定位人群是如何的。

- 人分为：得病的人 VS 无病的人

- 得病的人分为：正确被预测的人 VS 错误被预测的人

- 无病的人分为：正确被预测的人 VS 错误被预测的人

（读者可以自行画个图，拓扑图或者脑图）

上面写的稍微抽象了些，下面我来举个例子，假设总人口是1000000，患艾滋病的概率是$\dfrac{1}{10000}$。因此可以理解为患病人数为100人，未患病人数为990000。对于100名患者而言，由于检测的准确率是99%，则99人检测是阳性。有病并且可以正确的检测出来，我们称之为正确发现(True Positive)。对于990000个未患病的人来说，由于这个设备有1%的错误率，则有9900个人被检测是阳性(False Positive)。则总共检测是阳性的人数是9999个，真正的患病人数才是99个。那么如果检测结果是阳性，那么他得病的可能性仅仅是1%。

贴个图：

所以即使检测出是阳性，也不要过分紧张。

贝叶斯公式

下面我们进行公式推导，假设

• H代表患病；
• $H^{'}$代表未患病；
• P代表检测结果是阳性；
• $P^{'}$代表检测结果是非阳性；

我们需要求：$p(H|P)$ ，根据条件概率、全概率公式、贝叶斯公式可推导：

按照上面的例子

• P(H)=110000
  $$P(H) = \dfrac{1}{10000}$$
• P(P|H)=99100
  $$P(P|H) = \dfrac{99}{100}$$

剩下的大家自己计算吧。

总结

问题分析到现在，也许有人会问。既然检测结果是呈阳性，仍然不能判断这个人是否患病，那么这个意义何在呢？那么我们来分析下，首先，从人群中任意抽出一个人，其患病的概率是$P(H) = \dfrac{1}{10000}$，如果结果呈现阳性，那么患病概率提高100倍。这个就是这个检测的意义所在。

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