K-means聚类

发布日期：2021-05-28 16:57:25 浏览次数：30 分类：精选文章

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K-means聚类算法详解

聚类算法，又称无监督分类，其核心目标是将数据划分成有意义的或有用的组（簇），这些组之间可以满足特定的业务需求或建模需求。聚类的结果可以反映数据的自然结构与分布特征。在实际应用中，聚类分析常常用于客户划分、降维等场景，其中最具代表性的是用于评估客户价值的模型RFM（Recency、Frequency、 Monetary）。以下将详细探讨K-means聚类算法的核心原理及其常见应用场景。

K-means聚类算法概述

K-means是一种典型的聚类算法，其目标是将数据划分为K个簇。每个簇以其质心（Centroid）作为代表，该质心是簇中所有数据的平均值。通过多次迭代优化，质心的位置逐步趋于稳定，簇内数据的相似性达到最大化，簇间差异达到最小化。

K-means的核心实现流程

初始处理

在实际应用中，数据预处理，如归一化或离散化是必不可少的操作，以确保算法的收敛性和有效性。对于高维数据，可以采用降维技术如PCA（主成分分析）以降低计算复杂度。

初始中心的选择

随机选择K个初始聚类中心，这些中心的选取可能显著影响最终聚类效果。正确定制初试中心对于整个算法性能至关重要。

代价函数的定义

K-means算法通过最小化簇内平方和（Inertia）来优化簇心位置。簇内平方和的计算公式如下：

[\text{簇内平方和} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n d_{ij}^2]其中，(d_{ij})为数据点(x_i)与簇心(c_j)之间的欧氏距离，(m)为簇的样本数量，(n)为总数据点数。

迭代优化过程

通过迭代更新簇心，直到代价函数收敛：

将每个数据点分配到距离当前簇心最近的簇。

重新计算每个簇的质心，尽管公式简单，这一过程通常需要多轮迭代才能收敛。

收敛判断

算法会在某一轮迭代中，簇心位置不再变化时终止。这个过程的收敛性依赖于数据分布和初始条件。

K值的选择

K是用户在运行K-means前指定的参数，直接影响聚类结果的质量。正确选择K值至关重要，但没有通用的规律可循。以下是几种常见的K值选择方法：

经验选择

优点：直接根据业务需求进行设定。例如，金融行业可以将客户分为高风险、中风险、低风险三类（K=3），适用于明确的业务场景。

数据可视化

对于小数据量，可通过降维技术（如PCA）进行可视化，观察数据的天然聚集情况，进而确定K值。

手肘法

此法利用所有样本点与其簇心的距离和（Distancesquared Sum）进行分析。通过绘制不同K值对应的距离和曲线，观察曲线的拐点，作为K值的选择依据。手肘法虽然依赖视觉判断，但对高维数据尤为有效。

Gap Statistic

该方法计算不同K值下簇间方差与组内方差的比值，通过变化趋势找出最佳K值，避免主观判断的不足。

K-means算法的优缺点

优点：

计算效率高

K-means的时间复杂度为(O(K \cdot n \cdot t))，在大数据集上具备较强的可扩展性。

稳定性好

对于小规模数据集，K-means表现稳定。

缺点：

初试中心敏感性

K-means对初始中心的选择非常敏感，不同的初始设置可能导致不同的聚类效果。

收敛性局部性

K-means易陷入局部最优解，需要通过重启或多次运行来增加最终结果的可靠性。

数据噪声影响

简单的K-means对噪声点较为敏感，可能将孤立点归类到新的簇中，影响最终结果。

缺乏灵活性

K-means假设簇之间存在凸性，可能导致某些非凸结构的数据难以有效聚类。

K-means的改进模型

针对上述缺点，研究者提出了多种改进方案：

K-means++

该算法通过概率方法优化初始中心的选择。在基本算法中随机选取n个初始中心时，K-means++选择当前簇中心之间距离最大的点作为新簇心的可能性更大，从而提高了初始设置的质量。

ISODATA

ISODATA算法结合了簇的分裂与合并操作。设计了分裂操作（类中心过小则分裂）和合并操作（类中心过大则合并），可动态调整簇的数量，减少用户手动设置K值的需求。

总结

K-means聚类算法因其简单高效而在实际应用中具有广泛应用价值。选择适当的K值和合理的初始中心设置可以显著提升聚类效果。然而，该算法对初始条件较为敏感且可能陷入局部最优，需要结合具体应用场景选择合适的改进模型。

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