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对于每个给定的数对 (a_i, p_i)，我们需要确定 a_i 是否有模 p_i 的乘法逆元。乘法逆元存在的条件是 a_i 和 p_i 必须互质。由于 p_i 是质数，所以 a_i 和 p_i 互质的充要条件是 a_i 不被 p_i 整除。

如果 a_i 和 p_i 互质，那么according to Fermat's Little Theorem，a_i 的乘法逆元可以通过计算 a_i 的 (p_i - 2) 次幂 mod p_i 得到。具体来说，可以使用快速幂算法来高效计算这个过程。

由于 p_i 的大小可能很大，建议使用带模运算的快速幂算法来避免数值溢出。例如，假设要求计算 a_i^e mod p_i，其中 e = p_i - 2，因此：

快速幂算法的实现可以与以下伪代码相当：

function fast_power(a, exponent, mod):    result = 1    a = a mod mod    while exponent > 0:        if exponent % 2 == 1:            result = (result * a) % mod        a = (a * a) % mod        exponent = exponent // 2    return result

对于每个数对 (a_i, p_i)，调用上述函数来计算逆元。具体实现中，还需确保对于输入的 a_i 和 p_i 适用上述条件。

分步说明如下：