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动态规划求解矩阵最小路径和问题

问题描述

在一个给定的矩阵中，每一个格子都有一定的数值。我们需要找到一条路径，使得路径上所有数值的总和最小。路径定义为从左上角到右下角的连续向下或向右移动的过程。

举个例子，假设给定的矩阵如下：

nums = [    [1, 2],    [3, 4]]

那么，可能的路径有两条：

所以，最小路径和为7。

动态规划优化思路

为了高效地解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming，简称DP）方法。动态规划的核心思想是将大问题分解为小子问题，一次解决一个子问题，最终得到答案。

我们可以在矩阵中创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示到位置（i，j）的最小路径和。

递推公式

到位置（i，j）的最小路径和 dp[i][j] 可以通过以下公式计算：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + nums[i][j]

这个公式的意思是：从上方（i-1，j）或左方（i，j-1）来到当前位置（i，j），然后加上当前位置的数值 nums[i][j]。我们选择最小的那个路径来更新 dp[i][j]。

初始化

由于递推公式涉及到上方和左方的值，所以我们需要对第一行和第一列进行特殊处理。

• 第一行（i=0）： 从左到右依次计算路径和。

dp[0][j] = dp[0][j-1] + nums[0][j]

• 第一列（j=0）： 从上到下依次计算路径和。

dp[i][0] = dp[i-1][0] + nums[i][0]

这样，递推过程就不会出现数组越界的问题。

代码实现

根据以上思路，以下是实现最小路径和的动态规划代码：

def minPathSum(grid):    """    使用动态规划求解矩阵最小路径和问题        @param grid: m x n 的矩阵    @return: 最小路径和    """    if not grid:        return 0        m = len(grid)    n = len(grid[0]) if m > 0 else 0        # 创建一个 m x n 大小的 DP 表    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]        # 初始化    dp[0][0] = grid[0][0]        # 初始化第一行    for j in range(1, n):        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]        # 初始化第一列    for i in range(1, m):        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]        # 填充DP 表    for i in range(1, m):        for j in range(1, n):            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]        return dp[m-1][n-1]

结果分析

通过上述动态规划方法，我们可以高效地计算出矩阵中的最小路径和。具体步骤分为以下几个部分：

这种方法的时间复杂度为 O(m x n)，空间复杂度为 O(m x n)（用于存储 DP 表）。非常适合处理较大的矩阵问题。

总结

动态规划是一种非常有用的算法设计方法，尤其在解决具有重叠子问题的小规模问题时特别有效。在本题中，通过动态规划，我们可以在 O(m x n) 时间复杂度内轻松找到矩阵中的最小路径和。