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Pinv() 函数原型及验证

Pinv() 的原型

函数形式为 pinv(J, G, P)，其中：

• G 是一个正定矩阵。
• P 是矩阵 J 的伪逆矩阵。

核心计算逻辑如下：

Matrix J_temp(2, 2);  
J_temp = J.transpose() * G * J;  
P = (J_temp.inverse()) * J.transpose() * G;

详细步骤如下：

验证等式成立

通过实例验证，以下两种情况都满足等式：

示例 1

Matrix4d G;
G << 5, 0, 0,
    0, 5, 0,
    0, 0, 5;
Matrix3d B;
B << 1, 2, 3,
    4, 5, 6,
    0, 0, 1;
pinv(B, G, projection2); // 验证等式
cout << "projection2 = " << endl << projection2 << endl;

示例 2

Matrix3d G;
Matrix3d G << 50, 0, 0,
             0, 50, 0,
             0, 0, 50;
Matrix3d B;
B << 1, 2, 3,
    4, 5, 6,
    0, 0, 1;
pinv(B, G, projection4); // 验证等式
cout << "projection4 = " << endl << projection4 << endl;

与 Matlab 的 pinv() 函数比较

比较分析

1. 结果一致性

• 当调用 pinv2 函数（无 G 参参）时，与使用 pinv 函数（含 G 标量）得到的结果相同，无论 G 的取值。
• 结果表明，该 pinv 实现与 Matlab 中的 pinv 函数看起来一致。

2. 伪逆与逆矩阵一致性

• 对于可逆矩阵 B，伪逆矩阵与逆矩阵相同。
• 该性质符合数学理论：当矩阵可逆时，伪逆矩阵等于逆矩阵。

结论

• 我们实现的 pinv() 函数与 Matlab 中的 pinv() 函数行为一致。
• 当矩阵 A 是可逆时，其伪逆矩阵等于逆矩阵。

通过实例验证和理论推导，可以确认该 pinv() 函数的实现正确可靠。