理解背景：

• PCA的核心目标是找到能最大限度地保留数据信息的主成分，并将高维数据降维为低维。例如，三维空间中的数据位于一个二维平面上，可以通过坐标系旋转，将其投影到两个新轴上，而不丢失数据信息。

二维示例：

• 在二维空间中，数据点经过中心化后，主成分的方向即为数据的最大方差方向。这意味着在主轴上的数据点投影具有更大的分散程度，而其他方向的分散程度较小。
• 方差越大，数据质量越高，反之则质量越差。因此，PCA旨在最大化数据在主轴上的投影方差。

数学目标：

• PCA通过最大化特征值来实现降维，特征值越大，主成分的重要性越高。
• 在矩阵代数中，PCA可以通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量来实现。

求解过程：

• 数据中心化（均值减去均值）。
• 计算协方差矩阵。
• 求出协方差矩阵的特征值和对应的特征向量。
• 按照特征值大小选择主成分。

理解背景：

• 从回归的角度理解，PCA目标是在高维空间中找到一个最佳超平面，使得数据点到该超平面的平方误差最小。以一维为例，这个超平面退化为一条直线。

数学目标：

• 最小平方误差目标函数为： [ \text{最小化} \sum_{i=1}^n |(\mathbf{x_i} - \mathbf{p}) \mathbf{w}|^2 ] 其中，(\mathbf{p}) 为超平面中心，(\mathbf{w}) 为法向量。

求解过程：

• 数据中心化。
• 求解最佳超平面，使得误差最小。
• 转化为协方差矩阵特征值问题，与最大方差方法等价。