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(简易)一元三次方程拆分/求根方法

例:$$x^3+7x^2+14x+8=0$$

拆解步骤

例1:$$x^3+9x^2+23x+15=0$$

1. 15的因子为[1,3,5,15]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数,故舍去15
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5$
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$$(-1\ast -3)+(-1\ast -5)+(-3\ast -5)=23$$
5. $$(x+1)(x+3)(x+5)=0$$

例2:$$x^3+10x^2+27x+18=0$$

1. 15的因子为[1,2,3,6,9,18]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且只需保留3个,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6$
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$$(-1\ast -3)+(-1\ast -6)+(-3\ast -6)=27$$
5. $$(x+1)(x+3)(x+6)=0$$

重根情况

例3:$$x^3-4x^2+5x-2=0$$

1. 2的因子为[1,2]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且需满足3个,因不足3个则必有重根,为满足因子之和为4,故取[1,2,1]
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数$$(-1\ast -2)+(-2\ast -1)+(-1\ast -1)=5$$
5. $$(x+1{)}^2(x+2)=0$$

判断是否存在+1,-1的根

• 考试中一般三次方程会有一个1或-1的根.因为+1,-1是任何数的因子.
• 判断是否有+1,-1的根,即隔次项系数相加等于另一组隔次项系数相加.
  例$$x^3+9x^2+23x+15=0$$

1. 三次项系数+一次项系数(1+23)=24$[1式]$
2. 二次项系数+零次项系数(9+15)=24$[2式]$
3. 因为$[1式]=[2式]$,故必有一个根为(-1)
4. 若[1式]和[2式]互为相反数,即$[1式]=-[2式]$,则必有一个根为1.

方法失效的情况

• 当上述方法不起租用说明可能存在共轭根
  例$$s^3+s^2-2=0$$此时$1+2+1\ne 1$,且$(-1)+(-2)+(-1)\ne 1$,
  但判断是否存在$\pm 1$的方法依然有效.
  当判断存在一个$\pm 1$根后可用长除法.
  因为有一个根为(1),故除数为(s-1)
  结果$$(s-1)(s^2+2s+2)$$此时再用配方法,十字相乘公式法等化简.