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摘自：http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima%E5%9C%A8%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BA%94%E7%94%A8#.E8.A7.A3.E7.BA.BF.E6.80.A7.E6.96.B9.E7.A8.8B.E7.BB.84

简介

这篇文章,是介绍Maxima 这套数学软件,在学习线性代数的应用。

Maxima 是一个所谓的“电脑代数系统”(Computer Algebra System, CAS),这种系统比较为人熟知的还有Mathematica 和Maple 等等。我们选定Maxima 做为我们使用的程序,主要有三个原因:

免费 

Maxima 是免费,又是各平台都有的。所有的人可以在自己的电脑上练习。

功能完整 

Maxima 虽然不要钱,并不代表不好。Maxima 不论计算或图形功能都十分完整。事实上,Maxima 是最早的全功能CAS 系统Macsyma 的后代。

具代表性 

许多新的CAS 系统,如Maple, Mathematica 都多少受到Macsyma 的启发。所以学会Maxima,要学会Maple 或Mathematica 等软件都是很容易的事。

这篇文章主要是介绍线性代数相关功能。我们不假设同学已会基本的Maxima 使用方式,所以我们会用到的概念,也许不纯粹是线性代数的,也会一并介绍。专就线性代数而言,我们要会的其实并不多。想要快速进入状况,可以跳过前面的部份,直接看线性代数相关指令,在操作上有问题时,再回头看有问题部份的相关说明即可。

如果同学们比较喜欢使用Mathematica,Maple,或是Matlab 等商业软件也是可以的。我们系上的电脑室有提供这些软件,可以上机试用看看。

[]基本概念

我们先介绍一下Maxima 操作的方式。

[]Maxima 当计算器

我们先来看,如果我们要把Maxima 当计算器用,会是什么情况?

(%i1) 1+1;                                                                   (%o1)                                  2(%i2) 3*4*7;(%o2)                                 84(%i3) 9/3;(%o3)                                  3

到目前为止,似乎还没什么特别。除了可以做复杂一点点的运算,和平常的计算机或数值计算软件也没什么不同。以下的例子就不一样了:

(%i4) 7/3;                                       7(%o4)                                  -                                       3(%i5) 1/2+2/3;                                       7(%o5)                                  -                                       6

从(%o4)我们看到,7/3这种运算,Maxima 不是告诉我们2.3333...,而是分数的形式!难道Maxima 真的懂分数?不要怀疑,这就是所谓电脑代数系统(CAS) 的特长。我们可以像(%o5)的例子一样,输入个分数的四则运算试试即知。

如果坚持要用浮点数,那只要加个float 指令即可:

(%i6) float(7/3);(%o6)                          2.333333333333334

为了完整,我们顺便再介绍指数,根号,阶乘表示法:

(%i7) 2^10;(%o7)                                1024(%i8) sqrt(9);(%o8)                                 3(%i9) 5!;(%o9)                                120

我们可以看出,这些运算不是自然的数学符号,就是和我们平常电脑程序语言的写法。

[]指令结尾

在上面的例子中,我们发现,在Maxima 下指令,结束时一定要打上分号“;”,让Maxima 知道我们下的指令已结束。为什么要多这一个动作,主要是为了有时打比较长的指令可以换行之故。另一个结束方式是打入“$”的符号。不同于分号的地方是“运算结果不会显示出来”:

(%i10) 2+3$(%i11) 2+3;(%o11)                                 5

有一些CAS 程序,如Matehmatica 是用分号表示不显示运算结果。不过Maxima 中分号已用上,必需用其他字符。

[]离开Maxima

离开Maxima 打入“quit();” 即可。

当然,很多人可能会觉得奇怪,为什么不是打入“quit” 就好了呢?原来像这种程序导向的语言,什么动作其实都是执行一个函数。所以我们事实上是执行一个叫“离开”的函数。这函数没有参数,所以就成了quit() 的形式。

[]结果的引用

我们时常会需要引用前面的结果,这时就用百分比符号“%” 。比方说:

(%i12) 7/3;                                                                                                         7(%o12)                                 -                                       3(%i13) float(%);(%o13)                         2.333333333333334

Maxima 也可以指定使用第几个输出的结果,不过自己定一个标签可能是最好的方式。比方说,我们可以这样用:

(%i14) myresult:34+(65*72)/119;                                     8726(%o14)                               ----                                     119(%i15) float(myresult);(%o15)                         73.32773109243698

[]重要常数

Maxima 当然有内建e 或是π 常常用到的数,只是表示法奇怪一点。e 是%e 而π 是%pi 。

[]定义变量

Maxima定义变量的想法有点特别,在定义一个变数时,其时是给某个数字、矩阵,或想要定义的任何式子等等一个标签。让我们来看几个例子:

(%i16) a: 37;(%o16)                                37(%i17) a;(%o17)                                37(%i18) b: 22+100*(375-128);(%o18)                               24722(%i19) a+b;(%o19)                               24759

[]函数

Maxima 函数的定义和使用非常直觉,我们看几个例子就知道:

(%i20) f(x) := 3*x^2+5;                                          2(%o20)                         f(x) := 3 x  + 5(%i21) f(2);(%o21)                                17(%i22) g(x, y) := sin(x)*cos(y);(%o22)                     g(x, y) := sin(x) cos(y)(%i23) g(2*%pi, 4);(%o23)                                 0

重点就是,在定义函数时要用“:=” 去定义。比较一下和变数定义的不同,想想为什么要有两种不一样的定义方式。

[]进阶使用

[]列式而不运算

我们先计算一个瑕积分,用到无穷大的部份Maxima 是以inf 表示:

(%i1) integrate(%e^(-x^2),x,0,inf);                                                                             sqrt(%pi)(%o1)                              ---------                                       2

还记得这在微积分是怎么积出来的吗?Maxima 居然会积!不过,今天这不是我们的重点。今天重点是,有时你不是要秀答案,只是要列出式子。我们要怎么样让Maxima 不要太自动就算出来呢?答案是加个“”号在前面,例如:

(%i2) 'integrate(%e^(-x^2),x,0,inf);                                 inf                                /         2                                [      - x(%o2)                           I    %e     dx                                ]                                /                                 0

[]kill 指令

有时我们设定了一堆变数,函数,后来又不想再用下去,可以用kill 指令。而kill(all) 更是把我们定义过的变数,函数全部删除。看些例子就更加清楚:

(%i3) f(x) := 3*x^2+5;                                          2(%o3)                          f(x) := 3 x  + 5(%i4) f(x);                                      2(%o4)                              3 x  + 5(%i5) kill(f);(%o5)                                done(%i6) f(x);(%o6)                                f(x)

[]ev的使用

我们可以把Maxima 的ev 指令想成一个独立的环境。有点像在写程序时的函式一样, 并不会影响到其他的运作。第一种ev 的应用是把我们设成不要执行的指令执行:

(%i7) f: 'integrate(x^2, x);                                    /                                    [  2(%o7)                               I x  dx                                    ]                                    /(%i8) ev(f, integrate);                                       3                                      x(%o8)                                 --                                      3

另一个很有用的使用方式是, 我们有个式子, 比方说:

(%i9) f: a*x^2+b*2+c;                                   2(%o9)                           a x  + c + 2 b

假设我们想令一个式子是a = 1, b = −2, c = −8 的情况, 我们当然可以先令各个变数是这样,们问题是这么一来, f 也永远是x2 − 2x − 8, a, b, c 这三个变数也不再是“符号”, 而是有值的。为了避免这个问题, 我们可以用ev 指令, 在下了这个指令后, 我们可以发现, 并没有变动到原来a, b, c或是f :

(%i10) g: ev(f, a=1, b=-2, c=-8);                                     2(%o10)                              x  - 12(%i11) a;(%o11)                                 a

[]线性代数相关指令

这节我们正式介绍线性代数相关,也就是矩阵相关的指令。

[]矩阵及向量

我们先来看矩阵和向量的定义方式。前面说过,在Maxima 里,所谓设定一个变数的值,只不过是给某个数字或矩阵等等一个名称。我们这里就举应用在矩阵和向量时的情况:

(%i1) A:matrix([1,2,3],[-2,8,3],[1,4,9]);                                 [  1   2  3 ]                                 [           ](%o1)                            [ - 2  8  3 ]                                 [           ]                                 [  1   4  9 ](%i2) v: [2,3,5];(%o2)                              [2, 3, 5]

我们可以看出,要定义一个矩阵,就是把矩阵一列列的输入;定义一个向量,其实和我们用手写向量出来也差不多。不过,问题是我们在线性代数常常要把向量写成“行向量”,而非如上的“列向量”表示方式。我们可以用下面两种不同的方式达成:

(%i3) v:transpose([2,3,4]);                                     [ 2 ]                                     [   ](%o3)                                [ 3 ]                                     [   ]                                     [ 4 ](%i4) v:matrix([2],[3],[5]);                                     [ 2 ]                                     [   ](%o4)                                [ 3 ]                                     [   ]                                     [ 5 ]

其实向量应该是一个一列或一行的矩阵, 但是Maxima 提供了简单定义列向量的方法。这里要强调一点, 一般来说因为矩阵乘法的关系, 我们写成列向量和行向量差别很大。不过Maxima 其实不太在意这点: 它可以聪明地发现你要做的事, 并且正确得计算出来!简单的说, 一般而言, 我们不需要麻烦得定义行向量, 用列向量即可。

[]矩阵的表示和截取

这节我们讨论矩阵的抽象表示和取出一个矩阵行,列,甚至entry 的方法。这在很多理论和计算的尝试会用到。Maxima 是一个CAS 系统,所以我们可以完全用符号去定义一个矩阵,比方说:

(%i5) A: matrix([a[1,1],a[1,2]],[a[2,1],a[2,2]]);                               [ a      a     ]                               [  1, 1   1, 2 ](%o5)                          [              ]                               [ a      a     ]                               [  2, 1   2, 2 ]

你也可以做完全抽象的代数计算:

(%i6) c*A;                             [ a     c  a     c ]                             [  1, 1     1, 2   ](%o6)                        [                  ]                             [ a     c  a     c ]                             [  2, 1     2, 2   ]

如此一来,我们要试著导出一些定理就非常方便!

现在,我们重新把A 定义成一个实数矩阵,再看看怎么样找出A 的某一列,某一行,或某个entry。

(%i7) A: matrix([1,2,3],[-2,8,3],[1,4,9]);                                 [  1   2  3 ]                                 [           ](%o7)                            [ - 2  8  3 ]                                 [           ]                                 [  1   4  9 ](%i8) row(A,1);(%o8)                            [  1   2  3 ](%i9) col(A,2);                                   [   2   ]                                   [       ](%o9)                              [   8   ]                                   [       ]                                   [   4   ](%i10) A[2,3];(%o10)                                 3

[]矩阵向量之四则运算

我们要做矩阵加法、减法、乘法非常直觉而容易。乘法用的运算元是“.”。我们假设有了前面矩阵A 和向量v 的定义,来看以下的例子:

(%i11) A.v;                                    [ 23 ]                                    [    ](%o11)                              [ 35 ]                                    [    ]                                    [ 59 ]

也可以定义非向量的矩阵试试矩阵的乘法。比方说,两个矩阵A , B 的乘积是A.B,要注意A*B 并不会得到矩阵相乘的结果!到底A*B 是什么意思,大家不妨自己试试,看可不可以找出其中的意义。

量内积的做法和你想的一样:

(%i12) w: [2,3,5];(%o12)                             [2, 3, 5](%i13) w.w;(%o13)                                38

你可能发现了一个问题,那就是我们上面内积的例子是用列向量。那行向量可以吗?可以的!Maxima会聪明的知道你想做什么,不信可以试试看。

矩阵和向量的纯量乘法是用平常的“*” 号:

(%i14) 2*A;                                [  2   4   6  ]                                [             ](%o14)                          [ - 4  16  6  ]                                [             ]                                [  2   8   18 ]

现在我们来看一下有可能会产生误会的地方。假设我们现在要算A · A ,你可能会想是A^2,结果并不正确!其实A^2 是把A 的每一个entry 都平方。正确计算A · A 要用A^^2

[]矩阵相关函数

我们要计算矩阵的行列式值,求转置矩阵, 矩阵的秩等等的基本运算,Maxima 当然也都有(A还是我们之前定义的矩阵):

(%i15) transpose(A);                                 [ 1  - 2  1 ]                                 [           ](%o15)                           [ 2   8   4 ]                                 [           ]                                 [ 3   3   9 ](%i16) determinant(A);(%o16)                                54(%i17) rank(A);(%o17)                                 3

我们当然也可以手动计算行列式值。但这时需要知道矩阵第i, j 这个位置的子式(minor), 也就是A 矩阵去掉第i 列, 第j 行所成的矩阵, 这指令叫minor:

(%i18) minor(A,1,1);                                   [ 8  3 ](%o18)                             [      ]                                   [ 4  9 ]

矩阵的余因子(cofactor) 在Maxima 中并没有定义, 好在我们自己可以很容易定一个cofactor函数:

(%i19) cofactor(M,i,j):=(-1)^(i+j)*determinant(minor(M,i,j));                                    i + j(%o19)    cofactor(M, i, j) := (- 1)      determinant(minor(M, i, j))(%i20) cofactor(A,1,1);(%o20)                                60

我们在计算反矩阵等会用到的古典伴随矩阵(classical adjoint matrix) 也很容易算出来:

(%i21) adjoint(A);                              [  60   - 6  - 18 ]                              [                 ](%o21)                        [  21    6   - 9  ]                              [                 ]                              [ - 16  - 2   12  ]

说到反矩阵,要用Maxima 求出来也是易如反掌:

(%i22) invert(A);                              [  10     1     1 ]                              [  --   - -   - - ]                              [  9      9     3 ]                              [                 ]                              [  7     1      1 ](%o22)                        [  --    -    - - ]                              [  18    9      6 ]                              [                 ]                              [   8     1    2  ]                              [ - --  - --   -  ]                              [   27    27   9  ]

或是你也可以用前面的方式求反矩阵:

(%i23) A^^(-1);                              [  10     1     1 ]                              [  --   - -   - - ]                              [  9      9     3 ]                              [                 ]                              [  7     1      1 ](%o23)                        [  --    -    - - ]                              [  18    9      6 ]                              [                 ]                              [   8     1    2  ]                              [ - --  - --   -  ]                              [   27    27   9  ]

在解线性方程组常用到的梯形矩阵也是容易得很:

(%i24) echelon(A);                                  [ 1  2  3 ]                                  [         ]                                  [       3 ](%o24)                            [ 0  1  - ]                                  [       4 ]                                  [         ]                                  [ 0  0  1 ]

[]使用模组

用了Maxima 一阵子,你可能会预期它该会的都会。比方说求一个矩阵的trace,这应该够容易了吧?

事情并不是那么简单。Maxima 本身是“不会”算trace 的!当然我们可以自己写个小程序,不过先别急。我们可以使用使用适当的模组来做这件事。

所谓模组就是一段小程序,通常是增加一些指令,供你使用。你也许会觉得奇怪,那为什么Maxima 不一开始就把这些模组都加进来?那是因为如此一来太占用内存,也许很多对某些人重要的指令你永远也不用去用!

我们要算一个矩阵的trace,要使用ncharl 这个模组,这个模组提供了mattrace 指令去计算trace。

使用的方法如下,先以

(%i25) load("ncharl");

读入ncharl 模组,接着就可以使用这个模组提供的指令:

(%i26) A:matrix([1,2,3],[2,2,1],[3,3,1]);                                  [ 1  2  3 ]                                  [         ](%o26)                            [ 2  2  1 ]                                  [         ]                                  [ 3  3  1 ](%i27) mattrace(A);(%o27)                                 4

[]线性代数应用实例

[]特征值和特征向量

我们这里讨论线性代数很重要的特征值相关的计算。我们定义一个矩阵A , 计算特征值和特征向量时我们都以这个矩阵为主要讨论对象:

(%i1) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);                                  [ 4  0  1 ]                                  [         ](%o1)                             [ 2  3  2 ]                                  [         ]                                  [ 1  0  4 ]

我们计算一下特征值:

(%i2) eigenvalues(A);(%o2)                          [[5, 3], [1, 2]]

么样,很方便吧...等等,特征值怎么会出来两个向量呢!?原来,真正的特征值是放在结果的第一个list 当中,也就是5 和3。那第二个list 代表什么呢?代表的就是每个特征值的几何重数, 也就是每个特征值对应的特征向量空间之维度。换言之,这是比较完整的特征值资讯!

我们也可以用eigenvectors 计算特征向量。事实上,eigenvectors 也会把特征值列出来,所以是包含前面eigenvalues 功能的指令。不过如果我们一开始就介绍eigenvectors,看到那有点复杂的结果大家可能会昏倒。现在已经会了eigenvalues,大概就没问题了:

(%i3) eigenvectors(A);(%o3)        [[[5, 3], [1, 2]], [1, 2, 1], [1, 0, - 1], [0, 1, 0]]

第一部份和eigenvectors 输出一样,就是说我们有5 有和3 两个特征值,其mutiplicities 分别是1 和2。因此,对于5 应该要有一个对应的特征向量,即[1, 2, 1] ,对于3会有两个,分别是接下来的[1, 0, −1] 和[0, 1, 0] 。这些向量会生成相对应特征值的向量空间。

[]手动特征值的计算

上一节介绍Maxima 内建特征值计算,并不一定每个人都喜欢。比方说显示的方式比较特别,另外就是不是一步一步算的,心里有时也有不踏实的感觉。因此,我们这里介绍一下如何用Maxima 一步一步的把特征值求出来。

我们再用一次上一节的例子:

(%i4) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);                                  [ 4  0  1 ]                                  [         ](%o4)                             [ 2  3  2 ]                                  [         ]                                  [ 1  0  4 ]

我们先求特征多项式,也就是A − tI 的行列式值:

(%i5) f: charpoly(A,t);                                              2(%o5)                      t + (3 - t) (4 - t)  - 3

如果想要看到比较漂亮的式子, 可以将f 展开:

(%i6) expand(f);                              3       2(%o6)                      - t  + 11 t  - 39 t + 45

我们还可以将f 做因式分解, 这样就可以清楚看到A 有几个特征值, 和各特征值的代数重数:

(%i7) factor(f);                                               2(%o7)                         - (t - 5) (t - 3)

这样我们就求得A 的特征值是5 和3 。

另一个解法是,我们可以求f = 0 的零根。做法是使用solve 指令:

(%i8) solve(f=0, t);(%o8)                           [t = 5, t = 3]

当然,我们算法正确,应该是得到和前面一样的结果。

[]解线性方程组

线性代数的核心问题,就是解线性方程组。解线性方程组一样可以用上一节介绍的solve 指令来解。我们来看一个简单的例子,并且用Maxima 来解。

我们考虑下面的线性方程组:

x + 2y + 3z = 6  2x − 3y + 2z = 14  3x + y − z = −2

我们一样可以用前面用过的solve 指令来解:

(%i9) eq1: x + 2*y + 3*z = 6;(%o9)                          3 z + 2 y + x = 6(%i10) eq2: 2*x -3*y +2*z = 14;(%o10)                       2 z - 3 y + 2 x = 14(%i11) eq3: 3*x + y - z = -2;(%o11)                        - z + y + 3 x = - 2(%i12) solve([eq1, eq2, eq3],[x,y,z]);(%o12)

[]手动求特征向量空间的基底

我们在前面介绍过, 使用eigenvectors 指令就可以求出特征向量空间的一组基底。我们再用一次前面的矩阵:

(%i13) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]);                                  [ 4  0  1 ]                                  [         ](%o13)                            [ 2  3  2 ]                                  [         ]                                  [ 1  0  4 ]

我们已经求出A 的特征值是5 和3 , 我们这里用特征值3 做范例, 看看怎么样能求出对应的特征向量。我们现在要求的就是什么样的向量v , 会满足(A − 3I)v = 0 。这里我们可以用ident 指令可以很容易造出n × n 的单位矩阵。以下我们就把大略的设定做好:

(%i14) I: ident(3);                                  [ 1  0  0 ]                                  [         ](%o14)                            [ 0  1  0 ]                                  [         ]                                  [ 0  0  1 ](%i15) v: [x,y,z];(%o15)                             [x, y, z](%i16) u: (A-3*I).v;                                 [   z + x   ]                                 [           ](%o16)                           [ 2 z + 2 x ]                                 [           ]                                 [   z + x   ]

我们现在就是要看什么样的x, y, z 会让u 是零向量。这个例子其实用手解也很容易, 但是我们给Maxima 一个机会。我们要做的就是解一个线性方程组:

(%i17) eq1: u[1,1]=0;(%o17)                             z + x = 0(%i18) eq2: u[2,1]=0;(%o18)                           2 z + 2 x = 0(%i19) eq3: u[3,1]=0;(%o19)                             z + x = 0(%i20) solve([eq1,eq2,eq3],[x,y,z]);Dependent equations eliminated:  (2 3)(%o20)

这看来有点可怕的%r1 和%r2 是什么呢? 原来这只是表示两个参数, 换成我们一般的写法, 我们可能会写成x = −t, y = s, z = t 。至此, 我们已找到特征向量的一般表示式, 如果要找到一组基底也很容易, 我们先令ans 代表前面解出的式子, 再把(%r1, %r2) 代入(1, 0) , (0, 1) 即可:

(%i21) ans: %;(%o21)                  (%i22) ev(ans, %r1=1, %r2=0);(%o22)                     (%i23) ev(ans, %r1=0, %r2=1);(%o23)

我们可能会希望把结果设成两个向量v1 , v2 , 方便以后使用。我们可以再用ev 来做到这样的事:

(%i24) v1: ev([x,y,x], %o22);(%o24)                           [- 1, 0, - 1](%i25) v2: ev([x,y,x], %o23);(%o25)                             [0, 1, 0]

[]Maxima 的绘图功能

[]二维绘图

Maxima 二维绘图的指令是用plot2d。比方说,我们要画4x3 − 2x − 2 这个函数,设定x 轴范围是从-5 到5,就下这个指令:

(%i1) plot2d([4 * x^3-2 * x-2],[x,-5,5]);

[]三维绘图

三维绘图也一样容易,只要改用plot3d 的指令即可:

(%i2) plot3d(cos(-x^2+y^3/4),[x,-4,4], [y,-4,4]);

Geomview 是一个UNIX 的软件,Maxima 可以运用Geomview 做出非常漂亮的3D 图形。我们来看上个例子以Geomview 输出的结果。

(%i3) plot3d(cos(-x^2+y^3/4),[x,-4,4], [y,-4,4], [plot_format,geomview]);

Geomview 不但可以画出漂亮3D 图形,更重要的是它可以弥补Maxima 的一些缺点。比方说,Maxima 本身的3D 绘图不可以同时显示两个或两个以上函数图形(2D可以),但利用Geomview,这样的绘图变成可能。

[]点绘图

有很多绘图的应用,就只需要画出点,或是用一些点来描述一些函数。这事实上比画函数还简单,但是Maxima 直到5.9.2 版才有这样的功能。详情请参考(5.9.2 之后的) 使用手册。

[]多个函数的绘图

如果要比较几个函数,要如何下指令呢?我们来看个例子就明白了:

(%i4) plot2d([cos(x), sin(x), tan(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi], [y,-2,2])$

这个例子会同时画出cos(x), sin(x) 和tan(x) 的图形。

[]参数式绘图

我们仅简单举一参数式绘图之例子, 详情请参考Maxima 使用手册。

(%i5) plot2d([parametric, cos(t), sin(t), [t,-2*%pi,2*%pi], [nticks,80]]);

[]Maxima 的安装

在Maxima 的官方网站有不同版本的Maxima 供各平台使用:

不过,不同平台可能有一些不同的选择。我概略说明一下我建议的安装方式。不管用Windows, Mac, 或是Linux,我都推荐使用TeXmacs 这个文书处理软件当界面,因为这样可以显示最漂亮的数学符号。