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kthGrammar递归问题分析及代码实现

问题描述

题目考察的是一个递归函数kthGrammar(N, K)，其中N和K是输入参数。函数的逻辑如下：

解决方案

代码

class Solution {public:    int kthGrammar(int N, int K) {        if (helper(N, K))             return 1;        return 0;    }    bool helper(int N, int K) {        if (N == 1)             return false;        if (K > pow(2, N - 2)) {            return !helper(N, K - pow(2, N - 2));        } else {            return helper(N - 1, K);        }    }};

递归分析

递归条件的简化表述

• 当N=1：返回false。这相当于初始情况，没有进一步递归可能。
• 当K > 2^(N-2)：函数调用自身，但K减去2^(N-2)。这里的操作可以理解为每次减少一个与N有关的固定值。
• 当K ≤ 2^(N-2)：递归进入N-1层，保持K不变。

递推关系式

通过递推关系式可以更清晰地看到函数的行为：

• f(N, K) = !f(N, K - 2^(N-2))，当K > 2^(N-2)
• f(N, K) = f(N-1, K)，当K ≤ 2^(N-2)

这一递推关系表明，当K超过某一阈值时，函数值会反转，并在每一步递减一个固定的2^(N-2)，而若K未超过阈值，则继续递归到上层的N-1。

实现代码解读

代码关键点

• 递归终止条件：N=1，返回false。
• 状态判断：根据K的大小决定是继续递归还是取反返回。
• 递推规则：每次递减的K值是依赖于N的，这使得函数具有递归跳跃性。

递归优化思路

为了避免重复计算，可以考虑缓存中间结果或使用记忆化技巧。例如，可以用一个数组或者哈希表记录已经计算过的(N, K)组合，以减少重复计算。但在本题中，递归的终止条件足够佳，而且递推方式不会导致过深的递归栈，因此优化可能已经足够。

测试与验证

为了验证递归的正确性，可以设计以下测试案例：

总结

该递归函数通过递减K的固定步长，并根据N递减进行状态转换，最终得出结果。它的逻辑清晰，适用于解决特定范围内的递归问题。