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Introduction to Connected Components in Graphs

在图论中，连通分量、连通支路和极大连通子图是核心概念。无向图G的任何一个极大连通子图都被称为G的连通分量（或连通支路）。而如果一个图是有向图并且每两个顶点都是强连通的（即需要双向路径），则该图被称为一个强连通图。

Sample Use Case

给定一个无向图及其所有边，判断这个图是否所有顶点都是连通的。这个问题可以通过并查集（Union-Find）算法来高效解决。如果最终连通分量等于1，那么图就是一个连通图。

以下是实现这一功能的代码示例：

#include 
   
    
#include 
    
     
using namespace std;
#define MAXN 1000
int father[MAXN];
int height[MAXN];
void Initialize(int n) {
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        father[i] = i;
        height[i] = 0;
    }
}
int Find(int x) {
    if (x != father[x]) {
        father[x] = Find(father[x]);
    }
    return father[x];
}
void Union(int x, int y) {
    x = Find(x);
    y = Find(y);
    if (x != y) {
        if (height[x] < height[y]) {
            father[x] = y;
        } else if (height[y] < height[x]) {
            father[y] = x;
        } else {
            father[y] = x;
            height[x]++;
        }
    }
}
int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if (n == 0) {
            break;
        }
        scanf("%d", &m);
        Initialize(n);
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int x, y;
            scanf("%d %d", &x, &y);
            Union(x, y);
        }
        int component = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (Find(i) == i) {
                component++;
            }
        }
        if (component == 1) {
            printf("YES\n");
        } else {
            printf("NO\n");
        }
    }
    return 0;
}
    
   

Explanation

这个并查集实现高效地处理了连通分量问题，确保了连通图的判断能够在合理时间内完成。