第二类Euler积分的一个简单例子（递归）
发布日期：2024-04-19 13:22:56
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分类：技术文章
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求此广义积分 ∫ 0 + ∞ x n e − x d x ( x ∈ N ∗ ) 。 \int_0^{+\infty} x^ne^{-x}\mathrm dx(x\in\mathbb{N}^*)。 ∫0+∞xne−xdx(x∈N∗)。
1.求出递归公式：
∫ 0 + ∞ x n e − x d x ( x ∈ N ∗ ) = − x e x ∣ 0 ∞ + n ∫ 0 + ∞ x n − 1 e − x d x = n ∫ 0 + ∞ x n − 1 e − x d x \int_0^{+\infty} x^ne^{-x}\mathrm dx(x\in\mathbb{N}^*)\\ =-xe^x\big|_0^\infty+n\int_0^{+\infty} x^{n-1}e^{-x}\mathrm dx\\ =n\int_0^{+\infty} x^{n-1}e^{-x}\mathrm dx ∫0+∞xne−xdx(x∈N∗)=−xex∣∣0∞+n∫0+∞xn−1e−xdx=n∫0+∞xn−1e−xdx 2.求出第一项： ∫ 0 + ∞ x e − x d x = − x + 1 e x ∣ 0 ∞ = 1 \int_0^{+\infty} xe^{-x}\mathrm dx\\ =-\frac{x+1}{e^x}\big|_0^\infty\\ =1 ∫0+∞xe−xdx=−exx+1∣∣0∞=1 3.综上： ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = n ! . \int_0^{+\infty} x^ne^{-x}\mathrm dx=n!. ∫0+∞xne−xdx=n!.转载地址：https://blog.csdn.net/weixin_46128469/article/details/106187810 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！
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[***.219.124.196]2024年04月06日 15时52分23秒
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