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一、同余

定义
$当两个整数a,b除以同一个正整数m，若得相同余数，则二整数同余。记为：a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
公式

• $若m>1,且m|(a-b)，则a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
• $若a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),c\ast m=a-b,m|(a-b)$
• $模运算(不含除法（同理），以加法为例)：(a+b)\%m=(a\%m+b\%m)\%m$

取余的应用

• $处理具有周期性的问题（日期，年份，圈），一维矩阵到二维矩阵的转换$
• $题目答案较大，一般会将处理高精度问题转换为取模来处理，如1e9+7$

二、欧拉定理

定义
$若m,a互质(gcd(a,m)=1)，则a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

证明：

$首先，把1到m中与m互质的数挑出来为x_1,x_2,...,x_{\varphi (m)},设p_1=a{x}_1,p_2=a{x}_2,...,p_{\varphi m}=a{x}_{\varphi (m)}，这两个集合在模m基础上是同一个集合(下面给出证明)。$

• $引理1、p集合元素两两模m不同余，x集合两两模m不同余$
• $反证法：若p_i\equiv p_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),则m|(p_j-p_j)(i\ne j),m|a(x_1-x_2),因为m,a互质，所以m|(x_1-x_2)，x_1-x_2不可能是m的倍数（它不能等于0），矛盾$
• $引理2、p集合元素都与m互质$
• $反证法：若p_i=km+r(gcd(k,r)>1),p_i-km=r,a{x}_i-km=r,根据裴蜀定理得到，x_i是r的倍数（这不太会证明，到这里就矛盾了$
• $通过上面的引理，把集合p所有元素乘一起，得a^{\varphi (m)}{\prod }_{1<=i<=\varphi m}{x}_i\equiv ({\prod }_{1<=i<=\varphi m}{x}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),则a^{\varphi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

三、费马小定理

$若p是质数(p>1)，对于任意整数a，a^p-a是p的倍数，则a^p\equiv (a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
证明
$一、若a，p互质，质数p的欧拉函数为p-1,由欧拉定理得a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),则a^p\equiv (a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$二、若a,p不互质，则a为p的倍数，那么p|a^p-a,则a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

结论

• $可以看出费马小定理是欧拉定理的特殊情况$
• $a，p互质，p为质数，费马小定理求逆元，由a^{p-1}\equiv (a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),得a在模m下的逆元，a^{p-2}(modp)$
• $有时候质数特别大，用这两个定理取模计算$

四、扩展欧几里得算法

4.1裴蜀定理

$对于任意整数a,b,必存在整数x，y，满足ax+by=gcd(a,b)$
证明：
$在欧几里得最后一步，得出一个解x=1,y=0满足a\ast 1+0\ast 0=gcd(a,0).在它前面几步，b>0,gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b),假设有x,y满足b\ast x+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\ast y=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=gcd(a,b),b\ast x+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\ast y=b\ast x+(a-[\frac{a}{b}]\ast b)\ast y=ay+b(x-[\frac{a}{b}]\ast y),则x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-[\frac{a}{b}]\ast y,则a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b),所以一定有解x_0,y_0$

$裴蜀定理是由欧几里得算法的思路证明的，这个求解x,y的思路叫做扩展欧几里得算法$

代码如下：

int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){    if(!b){        x = 1,y = 0;        return a;    }    int d = exgcd(b,a%b,x,y);    int t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return d;}

拓展：
$对于更一般的方程（二元一次方程），ax+by=c,若有解当且仅当gcd(a,b)|c（判断是否有解），令d=gcd(a,b),a{x}_0+b{y}_0=d(x_0,y_0是一组特解),则通解：x=\frac{c}{d}\ast x_0+\frac{b}{d}\ast k,y=\frac{c}{d}\ast y_0-\frac{a}{d}\ast k(k\in \mathbb{Z}).$

五、一元线性同余方程

$形如ax\equiv (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)的方程，根据同余定义，可得m|(ax-b),那么my=ax-b，ax-my=b，y可以取负数，则转换为ax+my=b，若b|gcd(a,m)，则可用扩展欧几里得算法求解。$

六、逆元

定义
$逆元是数论中的倒数,在除法中，ax=1，则x为a的倒数。在数论中，若ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p),我们就称a和x在模p下互为逆元，记为x=inv(a).这样的x有很多个$

逆元的作用

$一、解决模运算下的除法，模运算中没办法计算除法如(a/b)\%m,除法麻烦，就转换为乘法（因此引入逆元。$
$二、避免高精度的运算和溢出，一般会对大质数p取余来输出答案$

求逆元方法一、扩展欧几里得算法

$由ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)，ax+py=1,1|gcd(a,p),当gcd(a,p)=1,可以得出一个解x，为a模p的逆$

代码如下:

int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){    if(!b){        x = 1,y = 0;        return a;    }    int d = exgcd(b,a%b,x,y);    int t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return d;}int inv(int a, int p){    int x, y;    if (exgcd(a, p, x, y) != 1) // 无解的情形        return -1;    return (x % p + p) % p;//为了保证x不为负数}

求逆元方法二、费马小定理加快速幂

$若p为质数，且gcd(a,p)=1,则有a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$再根据逆元定义推导，得a\ast inv(a)\equiv a^{p-1}\equiv (1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)，则inv(a)\equiv a^{p-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)。$

代码如下：

int qpow(int a,int b,int p){    int res = 1%p;    while(b){        if(b&1) res = (ll)res*a%p;        a=(ll)a*a%p;        b>>=1;    }    return res;}int inv(int a,int p){    return qpow(a,p-2,p);}