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小球从500米高度自由落下，每次落下后反弹回原高度的一半。我们需要计算它在第12次落地时总共经过的距离，以及第十次反弹的高度。

1. 第12次落地时总共经过的距离

每次下落的高度是前一次的一半，构成一个等比数列。首项为500米，公比为1/2，总项数为12次。下落的总距离为：

[ S_{\text{down}} = 500 \times \frac{1 - (1/2)^{12}}{1 - 1/2} = 1000 \times \left(1 - \frac{1}{4096}\right) \approx 1000 \text{米} ]

每次反弹的高度是下落高度的一半，同样构成一个等比数列。首项为250米，公比为1/2，总项数为11次（因为第12次落地后只反弹了11次）。反弹的总距离为：

[ S_{\text{up}} = 250 \times \frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 500 \times \left(1 - \frac{1}{2048}\right) \approx 500 \text{米} ]

因此，总共经过的距离为下落和反弹的总和：

[ S_{\text{total}} = S_{\text{down}} + S_{\text{up}} \approx 1000 + 500 = 1500 \text{米} ]

2. 第十次反弹的高度

第十次反弹发生在第十次下落之后。每次反弹的高度是前一次下落高度的一半，因此第十次反弹的高度为：

[ h_{\text{10}} = \frac{500}{2^{10}} = \frac{500}{1024} \approx 0.488 \text{米} ]

最终答案