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杨辉三角及其在组合数学中的应用，是计算组合数C(n, m)的重要工具。通过递推公式C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)，杨辉三角生成每一行的组合数，形成了数学中的一个经典图案。

在实际应用中，直接计算大规模组合数可能会面临性能瓶颈。为此，预处理二维前缀和数组s[i][j]被引入，其定义为：

s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1]

这种方法借鉴了二维前缀和的计算原理，用于高效计算合法方案数。通过这种预处理，后续的查询操作可以在常数时间内完成，从而显著提升了效率。

代码实现中，首先初始化组合数数组C，使用模k的运算确保数值在合理范围内。随后，预处理二维前缀和数组s，根据组合数的计算规则逐步构建。每个s[i][j]的值代表从0到i和0到j的合法组合数总和，充分利用了前缀和的优势，减少了重复计算。

在查询阶段，每次读取n和m后，直接输出s[n][m]即可获得结果。这种设计使得整个系统具备了高效处理大规模查询的能力，适用于需要频繁查询组合数和合法方案数的场景。