本文共 1620 字，大约阅读时间需要 5 分钟。

层次分析法简介

层次分析是对一些较为复杂较为模糊的问题作出决策的简易办法，它特别适用于那些难以完全定量分析的问题。

层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

层次分析法步骤

1. 建立层次结构模型


2. 构造成对比较矩阵


3. 层次单排序及其一致性检验


4. 层次总排序及其一致性检验

成对比较矩阵标度表

矩阵元素的含义
$$a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}$$

权向量计算

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
对于一致性矩阵A
它的非0特征根对应的特征向量归一化后可作为权向量
$$Aw=\lambda w$$
$w$即为权向量

一致性检验

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

对于一致性矩阵A

1. 计算矩阵最大特征值${\lambda }_{max}$，并计算一致性指标CI
   $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
   n为矩阵维数，当最大特征值为n时，为一致矩阵。


2. 查找平均随机一致性指标RI

3. 计算一致性比例CR
   $$CR=\frac{CI}{RI}$$
   若$CR<0.10$，则表示一致性可以接受，否则需要对一致性矩阵进行调整。