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题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：

$$

0

,

1

,

…

,

L

0,1,…,L

（其中

$$

L

L

是桥的长度）。坐标为

$$

0

0

的点表示桥的起点，坐标为

$$

L

L

的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是

$$

S

S

到

$$

T

T

之间的任意正整数（包括

$$

S

,

T

S,T

）。当青蛙跳到或跳过坐标为

$$

L

L

的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度

$$

L

L

，青蛙跳跃的距离范围

$$

S

,

T

S,T

，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有

$$

1

1

个正整数

$$

L

(

1

≤

L

≤

1

0

9

)

L(1 \le L \le 10^9)

，表示独木桥的长度。

第二行有

$$

3

3

个正整数

$$

S

,

T

,

M

S,T,M

，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中

$$

1

≤

S

≤

T

≤

10

1 \le S \le T \le 10

,

$$

1

≤

M

≤

100

1 \le M \le 100

。

第三行有

$$

M

M

个不同的正整数分别表示这

$$

M

M

个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1：

102 3 52 3 5 6 7

输出样例#1：

2

说明

对于30%的数据，

$$

L

≤

10000

L \le 10000

；

对于全部的数据，

$$

L

≤

1

0

9

L \le 10^9

。

2005提高组第二题

思路

如果不考虑数据范围的话，可以很快得出递推关系式：

$$

d

p

[

i

]

=

m

i

n

(

d

p

[

i

+

k

]

+

a

[

i

]

)

  

(

S

≤

k

≤

T

)

dp[i]=min(dp[i+k]+a[i])\ \ (S\leq k \leq T)

（

$$

a

[

i

]

a[i]

为

$$

i

i

点的石头数

$$

d

p

[

i

]

dp[i]

表示到达

$$

i

i

点踩到的最少石头数）

然鹅看了数据范围后，时间和空间都是过不去的。所以需要选择别的方法：

• 当

  $$
  S
  =
  T
  S=T
  的时候，可以很容易得到：所有在
  $$
  S
  S
  倍数位置上的点，都会走到，所以对该种情况进行特判

• 我们可以发现石子在桥上放置的是非常稀疏的，而且当点的位置超过一定范围，点都是可以跳到的。所以可以将石子所在的位置压缩到这个范围里去。将压缩后位置储存起来作为新的石头的位置，按照这个位置进行dp即可

假设每次走

$$

p

p

或者

$$

p

+

1

p+1

步.我们知道

$$

g

c

d

(

p

,

p

+

1

)

=

1

gcd(p,p+1)=1

.

由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：

$$

p

x

+

(

p

+

1

)

y

=

g

c

d

(

p

,

p

+

1

)

px+(p+1)y=gcd(p,p+1)

是有整数解的，即可得：

$$

p

x

+

(

p

+

1

)

y

=

s

px+(p+1)y=s

是一定有整数解的。

设

$$

p

x

+

(

p

+

1

)

y

=

s

px+(p+1)y=s

的解为：

$$

x

=

x

0

+

(

p

+

1

)

t

,

y

=

y

0

−

p

t

x=x_0+(p+1)t,y=y_0−pt

。令

$$

0

≤

x

≤

p

0\leq x\leq p

(通过增减

$$

t

t

个

$$

p

+

1

p+1

来实现)，

$$

s

>

p

×

(

p

+

1

)

−

1

s>p\times (p+1)−1

，

则有：

$$

y

=

s

−

p

x

p

+

1

≥

s

−

p

2

p

+

1

>

p

(

p

+

1

)

−

1

−

p

x

p

+

1

≥

0

y=\dfrac {s-px}{p+1}\geq \dfrac {s-p^{2}}{p+1} >\dfrac {p\left( p+1\right) -1-px}{p+1}\geq 0

即表示，当

$$

s

≤

p

×

(

p

+

1

)

s\leq p\times (p+1)

时，

$$

p

x

+

(

p

+

1

)

y

=

s

px+(p+1)y=s

有两个非负整数解，每次走

$$

p

p

步或者

$$

p

+

1

p+1

步，

$$

p

×

(

p

+

1

)

p\times (p+1)

之后的地方均能够到达。

如果两个石子之间的距离大于

$$

p

×

(

p

+

1

)

p\times (p+1)

，那么就可以直接将他们之间的距离更改为

$$

p

×

(

p

+

1

)

p \times (p+1)

。

综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离大于

$$

t

×

(

t

−

1

)

t\times(t−1)

，则将他们的距离更改为

$$

t

×

(

t

−

1

)

t\times (t−1)

。

因

$$

为

t

≤

10

为t\leq10

，因此我们可以直接将大于

$$

10

×

9

10\times9

的距离直接化为

$$

90

90

.

关于路径压缩常数的选择，证明过程详见：

AC代码

/*************************************************************************	 > Author: WZY	 > School: HPU	 > Created Time:   2019-02-03 15:55:49	 ************************************************************************/#include 
   
    #define ll long long#define ull unsigned long long#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define INF 0x7f7f7f7fconst int maxn=1e6+10;const int mod=1e9+7;using namespace std;int a[maxn];int dp[maxn];int vis[maxn];int main(int argc, char const *argv[]){	ios::sync_with_stdio(false);	cin.tie(0);	int L;	int ans=0;	int s,t,m;	cin>>L;	cin>>s>>t>>m;	for(int i=1;i<=m;i++)		cin>>a[i];	if(s==t)	{		for(int i=1;i<=m;i++)		{			if(a[i]%s==0)				ans++;		}		cout<
    
     <
     
      =0;i--)	{		dp[i]=INF;		for(int j=s;j<=t;j++)			dp[i]=min(dp[i],dp[i+j]+vis[i]);	}	cout<
      
       <
      
     
    
   

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