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1、二叉排序树

二叉排序树：BST: (Binary Sort(Search) Tree), 对于二叉排序树的 任何一个非叶子节点，要求 左子节点的值比当前节点的值小， 右子节点的值比当前节点的值大。

比如针对前面的数据 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ，对应的二叉排序树为：

1.1、一个数组创建、中序遍历二叉排序树

//创建Node结点class Node {   	int value;	Node left;	Node right;	public Node(int value) {   		this.value = value;	}	@Override	public String toString() {   		return "Node [value=" + value + "]";	}	//添加结点的方法	//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求	public void add(Node node) {   		if(node == null) {   			return;		}		//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系		if(node.value < this.value) {   			//如果当前结点左子结点为null			if(this.left == null) {   				this.left = node;			} else {   				//递归的向左子树添加				this.left.add(node);			}		} else {    //添加的结点的值大于 当前结点的值			if(this.right == null) {   				this.right = node;			} else {   				//递归的向右子树添加				this.right.add(node);			}		}	}	//中序遍历	public void infixOrder() {   		if(this.left != null) {   			this.left.infixOrder();		}		System.out.println(this);		if(this.right != null) {   			this.right.infixOrder();		}	}}

//创建二叉排序树class BinarySortTree {   	private Node root;	public Node getRoot() {   		return root;	}	//添加结点的方法	public void add(Node node) {   		if(root == null) {   			root = node;//如果root为空则直接让root指向node		} else {   			root.add(node);		}	}	//中序遍历	public void infixOrder() {   		if(root != null) {   			root.infixOrder();		} else {   			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");		}	}}

public class BinarySortTreeDemo {   	public static void main(String[] args) {   		int[] arr = {   7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};		BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();		//循环的添加结点到二叉排序树		for(int i = 0; i< arr.length; i++) {   			binarySortTree.add(new Node(arr[i]));		}		//中序遍历二叉排序树		System.out.println("中序遍历二叉排序树~");		binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12	}}

1.2、删除二叉排序树的节点

二叉排序树的删除情况比较复杂，有下面三种情况需要考虑

• 点 删除叶子节点 (比如：2, 5, 9, 12)
• 删除点 只有一颗子树的节点 (比如：1)
• 删除 有两颗子树的节点. (比如：7, 3，10 )

1.2.1、第一种情况:

删除叶子节点 (比如：2, 5, 9, 12)思路

1. 需求先去找到要删除的结点 targetNode
2. 找到 targetNode 的 父结点 parent
3. 确定 targetNode 是 parent 的左子结点 还是右子结点
4. 根据前面的情况来对应删除
   左子结点 parent.left = null
   右子结点 parent.right = null;

1.2.2、第二种情况: 删除只有一颗子树的节点 比如 1

思路

1. 需求先去找到要删除的结点 targetNode
2. 找到 targetNode 的 父结点 parent
3. 确定 targetNode 的子结点是左子结点还是右子结点
4. targetNode 是 parent 的左子结点还是右子结点
5. 如果 targetNode 有左子结点
   5.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
   parent.left = targetNode.left;
   5.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
   parent.right = targetNode.left;
6. 如果 targetNode 有右子结点
   6.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
   parent.left = targetNode.right;
   6.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
   parent.right = targetNode.right

3.3、情况三 ： 删除有两颗子树的节点. (比如：7, 3，10 )

思路

1. 需求先去找到要删除的结点 targetNode
2. 找到 targetNode 的 父结点 parent
3. 从 targetNode 的右子树找到最小的结点
4. 用一个临时变量，将 最小结点的值保存 temp = 11
5. 删除该最小结点
6. targetNode.value = temp

//创建Node结点class Node {   	int value;	Node left;	Node right;	public Node(int value) {   		this.value = value;	}	//查找要删除的结点	/**	 *	 * @param value 希望删除的结点的值	 * @return 如果找到返回该结点，否则返回null	 */	public Node search(int value) {   		if(value == this.value) {    //找到就是该结点			return this;		} else if(value < this.value) {   //如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找			//如果左子结点为空			if(this.left  == null) {   				return null;			}			return this.left.search(value);		} else {    //如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找			if(this.right == null) {   				return null;			}			return this.right.search(value);		}	}	//查找要删除结点的父结点	/**	 *	 * @param value 要找到的结点的值	 * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null	 */	public Node searchParent(int value) {   		//如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回		if((this.left != null && this.left.value == value) ||				(this.right != null && this.right.value == value)) {   			return this;		} else {   			//如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空			if(value < this.value && this.left != null) {   				return this.left.searchParent(value); //向左子树递归查找			} else if (value >= this.value && this.right != null) {   				return this.right.searchParent(value); //向右子树递归查找			} else {   				return null; // 没有找到父结点			}		}	}	@Override	public String toString() {   		return "Node [value=" + value + "]";	}	//添加结点的方法	//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求	public void add(Node node) {   		if(node == null) {   			return;		}		//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系		if(node.value < this.value) {   			//如果当前结点左子结点为null			if(this.left == null) {   				this.left = node;			} else {   				//递归的向左子树添加				this.left.add(node);			}		} else {    //添加的结点的值大于 当前结点的值			if(this.right == null) {   				this.right = node;			} else {   				//递归的向右子树添加				this.right.add(node);			}		}	}	//中序遍历	public void infixOrder() {   		if(this.left != null) {   			this.left.infixOrder();		}		System.out.println(this);		if(this.right != null) {   			this.right.infixOrder();		}	}}

//创建二叉排序树class BinarySortTree {   	private Node root;	public Node getRoot() {   		return root;	}	//查找要删除的结点	public Node search(int value) {   		if(root == null) {   			return null;		} else {   			return root.search(value);		}	}	//查找父结点	public Node searchParent(int value) {   		if(root == null) {   			return null;		} else {   			return root.searchParent(value);		}	}	//编写方法:	//1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值	//2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点	/**	 *	 * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)	 * @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值	 */	public int delRightTreeMin(Node node) {   		Node target = node;		//循环的查找左子节点，就会找到最小值		while(target.left != null) {   			target = target.left;		}		//这时 target就指向了最小结点		//删除最小结点		delNode(target.value);		return target.value;	}	//删除结点	public void delNode(int value) {   		if(root == null) {   			return;		}else {   			//1.需求先去找到要删除的结点  targetNode			Node targetNode = search(value);			//如果没有找到要删除的结点			if(targetNode == null) {   				return;			}			//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点			if(root.left == null && root.right == null) {   				root = null;				return;			}			//去找到targetNode的父结点			Node parent = searchParent(value);			//如果要删除的结点是叶子结点			if(targetNode.left == null && targetNode.right == null) {   				//判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点				if(parent.left != null && parent.left.value == value) {    //是左子结点					parent.left = null;				} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {   //是由子结点					parent.right = null;				}			} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {    //删除有两颗子树的节点				int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);				targetNode.value = minVal;			} else {    // 删除只有一颗子树的结点				//如果要删除的结点有左子结点				if(targetNode.left != null) {   					if(parent != null) {   						//如果 targetNode 是 parent 的左子结点						if(parent.left.value == value) {   							parent.left = targetNode.left;						} else {    //  targetNode 是 parent 的右子结点							parent.right = targetNode.left;						}					} else {   						root = targetNode.left;					}				} else {    //如果要删除的结点有右子结点					if(parent != null) {   						//如果 targetNode 是 parent 的左子结点						if(parent.left.value == value) {   							parent.left = targetNode.right;						} else {    //如果 targetNode 是 parent 的右子结点							parent.right = targetNode.right;						}					} else {   						root = targetNode.right;					}				}			}		}	}	//添加结点的方法	public void add(Node node) {   		if(root == null) {   			root = node;//如果root为空则直接让root指向node		} else {   			root.add(node);		}	}	//中序遍历	public void infixOrder() {   		if(root != null) {   			root.infixOrder();		} else {   			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");		}	}}

package com.atguigu.binarysorttree;public class BinarySortTreeDemo {   	public static void main(String[] args) {   		int[] arr = {   7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};		BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();		//循环的添加结点到二叉排序树		for(int i = 0; i< arr.length; i++) {   			binarySortTree.add(new Node(arr[i]));		}		//中序遍历二叉排序树		System.out.println("中序遍历二叉排序树~");		binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12		//测试一下删除叶子结点	    binarySortTree.delNode(12);	    binarySortTree.delNode(5);	    binarySortTree.delNode(10);	    binarySortTree.delNode(2);	    binarySortTree.delNode(3);	    binarySortTree.delNode(9);	    binarySortTree.delNode(1);	    binarySortTree.delNode(7);	    		System.out.println("root=" + binarySortTree.getRoot());		System.out.println("删除结点后");		binarySortTree.infixOrder();	}}

BST 存在的问题分析:

1. 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
2. 插入速度没有影响
3. 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比
   单链表还慢
4. 解决方案-平衡二叉树(AVL)

2、平衡二叉树

平衡二叉树也叫平衡 二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为 AVL 树， 可以保证查询效率较高。

2.1、单旋转（左旋转）

// 返回左子树的高度	public int leftHeight() {   		if (left == null) {   			return 0;		}		return left.height();	}	// 返回右子树的高度	public int rightHeight() {   		if (right == null) {   			return 0;		}		return right.height();	}	// 返回 以该结点为根结点的树的高度	public int height() {   		return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;	}		//左旋转方法	private void leftRotate() {   				//创建新的结点，以当前根结点的值		Node newNode = new Node(value);		//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树		newNode.left = left;		//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树		newNode.right = right.left;		//把当前结点的值替换成右子结点的值		value = right.value;		//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树		right = right.right;		//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点		left = newNode;					}

2.2、单旋转（右旋转）

//右旋转	private void rightRotate() {   		Node newNode = new Node(value);		newNode.right = right;		newNode.left = left.right;		value = left.value;		left = left.left;		right = newNode;	}

2.3、双旋转

思路：

1. 当符号右旋转的条件时
2. 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
3. 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
4. 在对当前结点进行右旋转的操作即可

// 添加结点的方法	// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求	public void add(Node node) {   		if (node == null) {   			return;		}		// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系		if (node.value < this.value) {   			// 如果当前结点左子结点为null			if (this.left == null) {   				this.left = node;			} else {   				// 递归的向左子树添加				this.left.add(node);			}		} else {    // 添加的结点的值大于 当前结点的值			if (this.right == null) {   				this.right = node;			} else {   				// 递归的向右子树添加				this.right.add(node);			}		}				//当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转		if(rightHeight() - leftHeight() > 1) {   			//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度			if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {   				//先对右子结点进行右旋转				right.rightRotate();				//然后在对当前结点进行左旋转				leftRotate(); //左旋转..			} else {   				//直接进行左旋转即可				leftRotate();			}			return ; //必须要!!!		}				//当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转		if(leftHeight() - rightHeight() > 1) {   			//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度			if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {   				//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转				left.leftRotate();				//再对当前结点进行右旋转				rightRotate();			} else {   				//直接进行右旋转即可				rightRotate();			}		}	}

二叉树存在的问题？

二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如1亿)， 就存在如下问题:

• 1：在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响。
• 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.。

3、多路查找树

多路查找树的每一个节点的孩子树可以多于两个，且每个节点处可以存储多个元素。多路查找树是一种特殊的查找树，所以其元素之间存在某种特定的排序关系。

3.1、2-3树

定义2-3树中每一个节点都具有两个孩子(我们称它为2节点)或三个孩子(我们称它为3节点)。

一个2节点包含一个元素和两个孩子(只能包含两个孩子或没有孩子，不能出现有一个孩子的情况)，且与二叉排序树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含的元素大于该元素。

3.2、2-3-4树

和2-3树的区别就是多了四节点。

• 2-node: 左子树比key小，右子树比key大。
• 3-node：左子树比第一个key小；中间子树比比第一个key大，比第二个key小；右子树比第二个key大。
• 4-node：左子树比第一个key小；第二子树比比第一个key大，比第二个key小；第三子树比第二个key大，比第三个key小；右子树比第三个key大。