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计算几何(三角形内切圆 + 海伦公式) - InCircle - UVA 11524

题意：

$对于△ABC，$

$假设其内切圆与其相切于P、Q、R三点，$

$给出比例：m_1:n_1，m_2:n_2，m_3:n_3，以及内切圆的半径，$

$求出△ABC的面积。$

输入：

$T组测试数据，$

$每组首行包括一个浮点数R，表示内切圆的半径。$

$接着三行，每行两个浮点数，m_i和n_i$

输出：

$一个浮点数，表示S_{△ABC}，小数点后保留4位数字。$

Sample Input

2140.950053649715.3010457320 550.3704847907464.9681681852 65.973737823055.0132446384 10.7791711946208.2835101182145.7725891419 8.82641764527.6610997600 436.1911036207483.6031801012 140.2797089713

Sample Output

400156.4075908824.1322

数据范围：

$0<T<50001，1<R<5000，1<m_1,n_1,m_2,n_2,m_3,n_3<50000$

分析：

$根据三角形内切圆的性质，有：AP=AR，BP=BQ，CQ=CR$

$设AP=x=AR$

$则：BP=\frac{n_1}{m_1}x=BQ，CR=\frac{m_3}{n_3}x=CQ$

$AB=c=(1+\frac{n_1}{m_1})x，AC=b=(1+\frac{m_3}{n_3})x，BC=a=(\frac{n_1}{m_1}+\frac{m_3}{n_3})x=b+c-2x$

$一个未知数，可列一个方程来解出，$

$我们知道三条边a,b,c，以及内切圆的半径R，容易想到通过三角形面积来建立等量关系，$

$由海伦公式：$

$$S_{△ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，其中p=\frac{a+b+c}{2}$$

$又：$

$$S_{△ABC}=\frac{(a+b+c)R}{2}=pR$$

$联立得：$

$$(p-a)(p-b)(p-c)=p{R}^2$$

$而：$

$$p=\frac{(a+b+c)}{2}=b+c-1=(1+\frac{n_1}{m_1}+\frac{m_3}{n_3})x$$

$带入解得：$

$$x=\sqrt{\frac{(1+\frac{n_1}{m_1}+\frac{m_3}{n_3})R^2}{\frac{n_1{m}_3}{m_1{n}_3}}}$$

$带入能够解得三角形面积。$

代码：

#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int main(){       int T;    double R;    double n[4],m[4];    scanf("%d",&T);    while(T--)    {           scanf("%lf",&R);        for(int i=1;i<=3;i++) scanf("%lf%lf",&m[i],&n[i]);        double x=sqrt((1+n[1]/m[1]+m[3]/n[3])*R*R/(n[1]*m[3]/m[1]/n[3]));        double S=(1+n[1]/m[1]+m[3]/n[3])*x*R;        printf("%.4lf\n",S);    }    return 0;}