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为了解决这个问题，我们需要计算在一个圆形蛋糕上用2n朵小花切出n条不相交的直线的方法数。这个问题可以通过计算第n个Catalan数来解决。

方法思路

Catalan数是一个在组合数学中的重要数列，第n个Catalan数可以通过递推公式计算： [ C(n) = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} ] 其中，(\binom{2n}{n}) 是组合数，表示从2n个元素中选取n个的方式数。

我们可以预先计算Catalan数到第40项，这样可以快速回答每个输入的n值。

解决代码

import sys
def compute_catalan(max_n):
    catalan = [0] * (max_n + 1)
    catalan[0] = 1
    for i in range(1, max_n + 1):
        for j in range(i):
            catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1]
    return catalan
# 预计算到n=40
catalan = compute_catalan(40)
for line in sys.stdin:
    n = int(line.strip())
    if n == 0:
        print("Case 0:")
        print(1)
    else:
        print(f"Case {n}:")
        print(catalan[n])

代码解释

这种方法确保了计算的高效性，能够快速处理较大的n值。