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随机过程和随机变量的关系

在研究随机过程时，我们常常关注的是某一个事物在不同时间点的表现。观察一个随机变量X_{t0}可能无法准确反映其真实结果，因此我们需要通过多个时间点的观测来分析其行为。随机过程X(t)定义为一族随机变量，t∈T，其中T是实数集合。例如，当T为离散值时（如0,1,2,3,...），X(t)被称为随即序列。可以看出，随机过程X(t)实际上是一族随机变量的集合。

布朗运动

布朗运动W={W_t, t≥0}满足以下特性：

从上述特性可以得出，对于固定的t值，W_t也是正态分布，即W_t ~ N(0, t)。

泊松过程

泊松过程与布朗运动的主要区别在于，泊松过程的两个时间点观测变量的差值服从泊松分布，而不是正态分布。泊松过程N_t表示直到时刻t为止发生的事件数量（例如进入某商店的人数）。泊松过程是一类特殊的计数过程，具有离散性质。

随机过程的数字特征

随机过程的数字特征主要包括以下几个方面：

从上述特征可以看出，随机过程的数字特征满足以下关系：

σ²_x(t) = D_x(t) + [C_x(t,t)] = D_x(t) + E[(X_t - μ_x(t))^2] = E[X_t^2]

平稳过程

平稳过程的定义是：一族随机变量族，其联合分布函数在观测时间点上加上一个值后保持不变。因此，平稳的含义是随机过程在时间上的稳定性。

由于直接根据定义判断平稳性较为困难，因此在理论与应用中多使用宽平稳过程概念。宽平稳过程的特性在一定范围内满足平稳性条件。

马尔科夫链

马尔科夫链是离散时间的马尔可夫过程，其定义如下：

通过以上分析，可以看出马尔科夫链在概率论和统计学中的重要地位。