本文共 6264 字，大约阅读时间需要 20 分钟。

2.1 关系数据结构

2.2 关系操作

2.3 完整性约束

2.4 关系代数

2.1 关系数据结构及形式化定义

2.1.1 关系——关系模型的数据结构——值

域

域（domain）：一组具有相同数据类型的值的集合。

例如：自然数（N）、整数（Z）、实数（R）、{男，女}等一系列值的集合。

笛卡尔积

笛卡尔积（cartesian product）：域上的一种集合运算。
给定一组域D₁，D₂，…，D_n，允许其中某些域是相同的，D₁，D₂，…，D_n的笛卡尔积为：
D   1   × D   2   × . . . × D   n   = { ( d   1   , d   2   , . . . , d   n   ) ∣ d   i   ∈ D   i   , i = 1 , 2 , . . . , n } D~1~\times D~2~ \times ...\times D~n~=\left \{(d~1~,d~2~,...,d~n~)|d~i~\in D~i~,i=1,2,...,n \right \} D 1 ×D 2 ×...×D n ={ (d 1 ,d 2 ,...,d n )∣d i ∈D i ,i=1,2,...,n}

1. 每一个元素（d₁,d₂,…,d_n）——n元组（元组）
2. 元组的每一个值d_i——分量
3. 一个域允许的不同取值个数——域的基数
4. 若D_i（i=1,2,…,n）为有限集，对应的基数m_ii=1,2,…,n），则$D1\times D2\times ...\times Dn$的基数为：
   $$M=\prod _{i=1}^{n}mi$$——笛卡尔积的基数

关系——关系模型的数据结构——型

关系（relation）：$D1\times D2\times ...\times Dn$的子集叫做域D₁，D₂，…，D_n的关系。

1. 一般来说，D₁，D₂，…，D_n的笛卡尔积是没有实际语义的，但是它的某个真子集（某组关系）才有实际意义。
2. 表示为R（D₁，D₂，…，D_n）。
3. n=1，单元关系；n=2；二元关系。
4. 关系是笛卡尔积的有限子集，关系也是一张二维表。
5. 表的每一行对应一个元组，每一列对应一个域。

“码”的概念
候选码（candidate key）：某一属性组的值能唯一标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码。
主码（primary key）：一个关系有多个候选码，其中任意一个。
主属性（prime attribute）：候选码的诸属性。
非主属性/码属性（non-prime attribute/non-key attribute）:不包含在任何候选码中的属性。
全码（all-key）：候选码的属性个数$\ge$元组属性个数。
候选码属性个数=1 最简单情况
候选码属性个数=n=元组属性个数 此时候选码–>全码

关系的三种类型

基本关系的6条性质

1. 列是同质的。

意味着每一列的数据来源于同一个域。

2. 不同的列可出自同一个域.

为了区别属性，不同的属性（来自同一个域）要给予不同的属性名。

3. 列的顺序无所谓，即列的次序可以任意交换。
4. 任意两个元组的候选码不能取相同的组。

候选码的功能：唯一地标识一个元组。

5. 行的顺序无所谓，即行的次序可以任意交换。
6. 每一个分量必须是不可分割的数据项。

2.1.2 关系模式

关系模式——型——对一个关系的描述——数据的描述
关系——值——元组的集合——数据本身
关系模式（relation schema）：R（U，D，DOM，F）。

1. 关系名——R
2. 属性名集合——U
3. 属性来自的域——D
4. 属性向域的映像关系——DOM
5. 属性间数据的依赖关系的集合——F
   关系模式一般简记为R（U）=R（A₁，A₂，…,，A_n）

关系模式和关系的联系

2.1.3 关系数据库

关系数据库的型——关系数据库模式（对关系数据库的描述）
关系数据库的值——关系数据库（关系模式在某一时刻的关系的集合）

2.1.4 关系模型的存储结构

2.2 关系操作

关系模式给出了关系操作的能力的说明，没有对关系数据库管理系统语言给出具体的语法要求。而关系操作是不同关系数据库管理系统应该定义和开发来实现的。

2.2.1 基本的关系操作

查询（query）：关系操作中最主要的部分。

查询包括：选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）、并（union）、差（except）、交（intersection）、笛卡尔积。红色为基本的5中操作，其他的可以有这五种操作导出。

插入（insert）
删除（delete）
修改（update）

2.2.2 关系数据语言的分类

2.3 关系的完整性

关系模型的完整性规则：对关系的某种约束太偶见。

关系的值随着时间变化时应该满足一些约束条件，是对现实世界的要求

2.3.1 实体完整性

实体完整性规则：若属性A 是基本关系R 的主属性，则属性A不能取空值。

R（A_i）（i=1,2,…,n）!=$\oslash$

(1) 实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
(2) 现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
(3) 关系模型中以主码作为唯一性标识。
(4) 主码中的属性即主属性不能取空值。

2.3.2 参照完整性

关系间的引用

三个例子：

例1：学生实体、专业实体：
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
专业（专业号，专业名）

学生关系引用了专业关系的主码“专业号”。

例2：学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选修（学号，课程号，成绩）

选修关系引用了学生关系的主码“学号”和课程关系的主码“课程号”。

例3：学生实体及其内部的一对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

学生关系引用了自身的主码“学号”作为“班长”属性

外码

外码（foreign key）：设F是基本关系R 的一个或一组属性，但不是关系R 的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是基本关系R 的外码。

1. R——参照关系（Referencing Relation）。
2. S——被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）。
3. R和S可能相同（例3），也可能不同（例4）。
4. 目标关系S的主码Ks 和参照关系R的外码F必须定义在同一个（或一组）域上。
5. 外码并不一定要与相应的主码同名。

参照完整性规则

参照完整性规则：若属性（或属性组）F是基本关系R 的外码,它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：

1. 取空值（F 的每个属性值均为空值）
2. 等于S 中某个元组的主码值

R(F)==S(Ks),F取值限定为空或S（Ks_i）

2.3.3 用户定义的完整性

用户定义的完整性：用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。

2.4 关系代数

关系代数：抽象的查询，用对关系的运算表示查询。

2.4.1 传统的集合运算

并

并（union）： R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R\cup S=\left \{ t\mid t\in R\vee t\in S\right \} R∪S={ t∣t∈R∨t∈S}

差

差（except）： R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S =\left \{ t\mid t\in R\wedge t\notin S\right \} R−S={ t∣t∈R∧t∈/​S}

交

交（intersection）： R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R\cap S=\left \{ t\mid t\in R\wedge t\in S\right \} R∩S={ t∣t∈R∧t∈S}

笛卡尔积

笛卡尔积（cartesian product）： R × S = { t   r   ⌢ t   s   ∣ t   r   ∈ R ∧ t   s   ∈ S } R\times S=\left \{ t~r~\stackrel\frown{} t~s~\mid t~r~\in R\wedge t~s~\in S\right \} R×S={ t r ⌢t s ∣t r ∈R∧t s ∈S}

2.4.2 专门的关系运算

运算符介绍

1. t[A_i]

设关系模式为R(A₁，A₂，…，A_n)。设某一个关系为R,$t\in R$表示t是R的一个元组。
t[A_i] 则表示元组t 中相应于属性Ai 的一个分量。

2. A={A_i1，A_i2，…，A_ik}和t[A] =(t[Ai 1]，t[Ai 2]，…，t[Ai k]) 和$\bar{A}$

A={A_i1，A_i2，…，A_ik}，A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁，A₂，…，A_n中的一部分，则A={A_i1，A_i2，…，A_ik}称为属性列或域列。
t[A] =(t[Ai 1]，t[Ai 2]，…，t[Ai k]) 表示元组t在属性列A上诸分量合。
$\bar{A}$则表示元组t在属性A{ A1，A2，…，An}中去掉 {Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。

3. $t_r\stackrel{⌢}{}{t}_s$

R 为n目关系，S为m目关系。
$tr\in R$，$ts\in S$，$t_r\stackrel{⌢}{}{t}_s$称为元组的连接。
它是一个n+m列的元组前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

4. 象集Z_x

给定一个关系R（X，Z），X 和Z 为属性组。
当t [X ]=x 时，x 在R 中的象集（Images Set）为： Z X   = { t [ Z ] ∣ t ∈ R , t [ X ] = x } Z _{X} ~=\left \{ t\left [ Z \right ] \mid t\in R ,t\left [ X \right ]= x \right \} ZX​ ={ t[Z]∣t∈R,t[X]=x}。
它表示R中属性组X上值为x 的诸元组在Z上分量的集合。

选择

选择（select）： σ F ( R ) = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ′ 真 ′ } \sigma _{F} \left ( R \right ) =\left \{ t\mid t\in R\wedge F\left ( t \right )='真' \right \} σF​(R)={ t∣t∈R∧F(t)=′真′}

F——选择条件——$X1\Theta X2$
$\Theta$={ $>$ $\ge$ $<$ $\le$ $=$ $<>$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ }

选择是基于行进行操作的，选出的也是行的部分。

投影

投影（projection）： ∏ A ( R ) = { t [ A ] ∣ t ∈ R } {\textstyle \prod_{A}^{}} (R)=\left \{ t[A]|t\in R \right \} ∏A​(R)={ t[A]∣t∈R}

A——属性列
投影可能会取消重复的元组。

选择是基于列进行操作的，选出的也是列的部分。

连接

连接（join）：$$R\bowtie S=\left\{\stackrel{⌢}{t_r{t}_s}|t_r\in R\wedge t_s\in S\wedge t_r\left[A\right]\theta t_s\left[B\right]\right\}$$

A，B——R，S列数相等的且可比的属性组
$\theta$——比较运算符
连接是从R$\times$S中选出满足R.A$\theta$R.B元组

连接是基于行列进行操作的，选出的是一组二维表。

1. 等值连接
2. 自然连接（一种特殊的等值连接）

悬浮元组：参与连接操作时被舍弃的元组。
左外连接：保存左边关系R的悬浮元组，其他属性填上NULL值
右外连接：保留右边关系S的悬浮元组，其他属性填上NULL值。

除运算

象集（images set）：给定一个关系R（X，Z），X 和Z 为属性组。当t [X ]=x 时，x 在R 中的象集为： Z x = { t Z , t ∈ R , t [ X ] = x } Z_{x} =\left \{ t_{Z} ,t\in R ,t[X]=x\right \} Zx​={ tZ​,t∈R,t[X]=x}
除（division）： R ÷ S = { t r [ X ] ∣ t r ∈ R ∧ ∏ Y ( S ) ⊆ Y x } R{\div}S=\left \{ t_{r} \left [ X \right ] | t_{r}\in R\wedge {\textstyle \prod_{Y}^{}} \left ( S \right ) \subseteq Y_{x} \right \} R÷S={ tr​[X]∣tr​∈R∧∏Y​(S)⊆Yx​}

给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），R（Y）和S（Y）属性名可以不同，但出自同一个域集。
R与S的除运算得到新的关系P（x）
大的部分：Y在R象集；小的部分：S在Y的投影。

总结

并、差、笛卡尔积、选择、投影——基本运算。
交、连接、除——基于基本运算得出。
关系代数表达式：有限次运算复合后形成的表达式。

2.5 关系演算

2.5.1 元组关系语言ALPHA

检索操作

更改操作

2.5.2 元组关系演算

2.5.3 域关系演算语言

检索操作

更新操作

2.6 小结