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一、整数与二进制

1.证明命题1.1

证明：

① 如果a | b，b | c，则存在唯一整数m，n，

使得 b = m a，c =n b 。

则可以得到 c = nb = mna，

由于m，n是整数，所以a整除c，则 a | c 成立。

②如果 c | a，c | b，则存在唯一整数p，q，

使得a = p c，b = q c

则可以得到 m a + n b = mpc + nqc = (mp + nq) c，

又因为m，p，q，都是整数，所以 c |(m a + n b) 成立。

2.证明定理1.1 除法算法

证明:

证明两个方面，充分性和必要性

充分性：

构造集合

S={a-bk; k∈Z 且 a-bk ≥ 0};

显然，集合S非空。由良序原则，存在一个最小元

r ∈ S，且 r = a - qb

因此，a = qb + r，r ≥ 0

显然，集合中必定存在一个k₁，使得 r = a - bk ₁ ≥ 0，且a-b(k₁+1)<0，则有a-bk₁<b

即 r < b

综上所述，0 ≤ r < b

必要性：

 假设 q 和 r 不唯一，则有 a = q₁ b + r ₁和a = q ₂ b + r₂( 0 ≤ r ₁< b，0 ≤ r₂ < b)

  两式相减得，r₂ - r₁ = b ( q₁ - q₂ )

  ∵ q != 0

  ∴ b能整除r₂ - r₁

  又 ∵ 0 ≤ r₁ < b，0 ≤ r ₂< b

∴ - b < r ₂-r₁ < b

  ∴ r ₂-r₁ = 0

  即 r₂=r₁.

  则由题设 a = q₁ b + r ₁，a = q ₂ b + r₂

  可得q₁=q₂。

​ 因此原命题不成立

  则可认为 q 和 r 是唯一的

3.简单乘法（迭代法）

#include 
   
    int multiply(int a, int b);int main(){
       int a,b;	printf("请输入两个整数a和b:\n");    scanf("%d %d",&a,&b);    printf("a*b=%d\n",multiply(a,b));    return 0;}int multiply(int a, int b){
   	int k=1,mul=0;	while(b!=0)	{
   		if(b%2==1)			mul+=a*k;		b=b/2;		k*=2;	}	return mul;}
   

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