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卡特兰数

1.前几项

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452，…

2.公式

h(0) = 1

h(1) = 1

• h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)

• h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)

• h(n)=C(2n,n)/(n+1)

3.应用

• 进出栈的总序列个数问题

  假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)h(n-k)种方案。k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。

  *k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0)。

#include
   
    using namespace std;typedef long long ll;ll C(ll n,ll m){       ll s = 1,x = 1;    ll ans = 0;    for(int i=0;i
    
     >n;    cout<
    
   

• 括号匹配匹配方式

  2*n个括号，必须是n个左括号，n个右括号，这样才能匹配。求有多少种匹配方式？

  假设n=2，只有()()，(())两种，答案就是卡特兰数

• 二叉树的个数

  给定n个节点，求能构成二叉树的个数

• 凸多边形的划分方案数

  凸多边形的三角形划分，一个凸的n边形，用直线连接它的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，求划分的方案数